Deposito Algebra lineal (77)

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229 Diagonalización 
 
 
 
M6. Obtener la forma canónica de Jordan de la matriz A =
E
FFG	
	1 					1 					0	0 					0 					0	0 					2 		−1
−2 −2 			2			1 			1 −1−2 −1 			3	0 		−1 					0	0 					0 					0	0 					0 					0
			2 			0 −3			0 			1 			0			0 			0 −1H
IIJ 
 
RESOLUCIÓN 
 
Se define la matriz � 
 
Se obtiene el polinomio característico y se calculan los valores propios 
 
 
Los autovalores de la matriz � son 
< �� = 1	� = −1	= con :>���� = 4:>�� � = 2 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor λ� = 1, cuya multiplicidad algebraica es :>���� = 4 
 
230 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
 
El subespacio propio obtenido es 
��� = �	���, 0,0,0,0,0�	|	�� ∈ ℝ� = 	 〈�1,0,0,0,0,0�〉 
Como :;���� = LM:��� = 1 ≠:>���� = 4, la matriz no es diagonalizable y se construye la 
cadena de subespacios correspondiente. Además, se puede asegurar que existe un único bloque 
de Jordan correspondiente a este autovalor. 
Se construye el siguiente subespacio 
���	 = $	�* ∈ � ∶ �� − ��6� �* = 0B*& = OPQ�� − ��6� 
 
 
 
���	 = �	���, �R, 0, �R, 0,0�	|	��, �R 	 ∈ ℝ� = 〈�1,0,0,0,0,0�, �0,1,0,1,0,0�〉. 
Dado que LM:���	 = 2 ≠:>���� = 4, se continua construyendo la cadena de subespacios 
vectoriales. Se calcula ���	� : 
���	� = $	�* ∈ � ∶ �� − ��6���* = 0B*& = OPQ�� − ��6�� 
 
 
 
231 Diagonalización 
 
 
El subespacio vectorial es 
���	� = �	���, �� + �R, ��, �R, 0,0�	|	��, ��, �R 	 ∈ ℝ� = 〈�1,0,0,0,0,0�, �0,1,1,0,0,0�, �0,1,0,1,0,0�〉 
Como 	LM: ���	� = 3 ≠:>���� = 4 , se continua construyendo la cadena de subespacios. Se 
calcula ���	R ���	R = $	�* ∈ � ∶ �� − ��6�R�* = 0B*& = OPQ�� − ��6�R 
 
 
 
���	R = �	���, �� + �R + �S, ��, �R, �S, 0�	|	��, ��, �R, �S ∈ ℝ� ⇒ 
���	R = 〈�1,0,0,0,0,0�, �0,1,1,0,0,0�, �0,1,0,1,0,0�, �0,1,0,0,1,0�〉 
Como LM:���	R = 4 = :>���� = 4 no se construye el siguiente subespacio, habiéndose 
obtenido 
��� ⊂ ���	 ⊂ ���	� ⊂ ���	R , con LM:��� = 1 < LM:��� = 2 < LM:	���	� = 3	 < LM:���	R = 4 
Resaltar que LM:���	WX� − LM:���	W = 1 ∀M = 1,2,3, por lo que cada subespacio vectorial ���	WX� − ���	W ∀M = 1,2,3 sólo tendrá un vector linealmente indepediente. La base de Jordan 
correspondiente al autovalor �� = 1 será Z[# = �AB*�, AB*R, AB*S, AB*\� siendo AB*\ ∈ ���	R − ���	� y todos 
los demás sus sucesivas imagenes respecto de la aplicación �� − ��M�. Se selecciona un vector 
que verifica AB*\ ∈ ���	R y AB*\ ∉ ���	� .