Deposito Algebra lineal (78)

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232 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Sea AB*\ = �0,1,0,0,1,0�. Se calculan sus sucesivas imágenes respecto de la apliación �� − ��M� 
 
 
 
 
En conclusión, la base de Jordan correspondiente al autovalor λ� = 1 es 
Z[# = ��1,0,0,0,0,0�, �2, −1,0,−1,0,0�, �−1,0,1,−1,0,0�, �0,1,0,0,1,0�� 
siendo la matriz elemental de Jordan correspondiente ̂ 
 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor λ = −1, cuya multiplicidad algebraica es :>�� � = 2. 
 
 
 
El subespacio propio asociado al autovalor � = −1 es 
 
 
233 Diagonalización 
��# = �	�0,0, ��, 0,0,0�	|	�� ∈ ℝ� = 	 〈�0,0,1,0,0,0�〉 
Como :;�� � = LM:��# = 1 ≠:>�� � = 2, hay un único bloque elemental de Jordan 
asociado al autovalor � = −1 y se construye el siguiente subespacio vectorial de la cadena 
��#	 = $	�* ∈ � ∶ �� − � 6� �* = 0B*& = OPQ�� − � 6� 
 
 
 
El subespacio vectorial es 
��#	 = ��0,0, ��, �\, 0, �\�	|	��, �\ ∈ ℝ	� = 	 〈�0,0,1,0,0,0�, �0,0,0,1,0,1�〉 
Como LM:��#	 = 2 =:>�� �, no se calcula el siguiente subespacio habiendo obtenido los 
siguientes 
��# ⊂ ��#	 , con LM:��# = 1 < LM:��# = 2 
Ya que LM:��#	 − LM:��# = 1, basta seleccionar un vector no nulo en el subespacio ��#	 −��#	 y calcular las sucesivas imágenes de este vector mediante la aplicación �� − � M�. La base 
de Jordan será Z[� = �AB*�, AB* � siendo AB* ∈ ��#	 − ��# 	y AB*� la imagen del vector AB* respecto de la 
aplicación �� − � M�, es decir, �� − � M��AB* � = AB*�. 
Sea el vector AB* = �0,0,0,1,0,1� ∈ ��#	 − ��# 
 
La base de Jordan correspondiente a � = −1 es 
Z[� = ��0,0,1,0,0,0�, �0,0,0,1,0,1�� 
siendo la matriz elemental de Jordan 
 
234 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
Se construye la base completa de Jordan como la unión de las dos bases anteriores (Z = Z[� ∪Z[#�. Esto es 
Z = ��0,0,1,0,0,0�, �0,0,0,1,0,1�, �1,0,0,0,0,0�, �2, −1,0,−1,0,0�, �−1,0,1,−1,0,0�, �0,1,0,0,1,0�� 
La forma canónica de Jordan se obtiene colocando en la diagonal principal las matrices 
elementales de Jordan obtenidas anteriormente 
 
y la matriz , se obtiene colocando los vectores de la base completa de Jordan por columnas 
 
Finalmente, se comprueba que las matrices , y ̂ verifican la igualdad ^ = ,-��, 
 
Otra forma de calcular la matriz y la base de Jordan es utilizar el comando 
JordanDecomposition de Mathematica