Deposito Algebra lineal (80)

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238 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
6.3 Expresión matricial del producto escalar 
Sean ��,∙� un espacio vectorial euclídeo de dimensión " y # = $%��&, %��', … , %��)* una base del 
mismo. Sean �� e 
� dos vectores de �, entonces: 
�� = �&%��& + �'%��' + ⋯ + �)%��)
� = 
&%��& + 
'%��' + ⋯ + 
)%��) 
El producto escalar de ambos vectores es el siguiente: 
�� · 
� = ��&%��& + �'%��' + ⋯ + �)%��)� · �
&%��& + 
'%��' + ⋯ + 
)%��)� = �&
&%��& · %��& + �&
'%��& · %��' + ⋯ + �&
)%��& · %��) + 	�'
&%��' · %��& + �'
'%��' · %��' + ⋯	+�'
)%��' · %��) + ⋯ + 	�)
&%��) · %��& + �)
'%��) · %��' + ⋯ + �)
)%��) · %��)	
que matricialmente se expresa como: 
�� · 
� = ��&,�', … , �)�,---.---/�0��12 3
%��& · %��&%��' · %��& %��& · %��'%��' · %��' ⋯ %��& · %��)⋯ %��' · %��)⋮%��) · %��& ⋮%��) · %��' ⋱⋯ ⋮%��) · %��)6,----------.----------/71
3
&
'⋮
)6,./�8���1
	 = ����9: · ;9 · �
��9 
La matriz ;9 = �%��< · %��=
	∀>, ? = 1,2, … , " se denomina matriz del producto escalar o matriz de 
Gramm en la base #. 
Observaciones: 
- La matriz ;9 es simétrica puesto que %��< · %��= = %��= · %��<, ∀>, ? = 1,2, … , " 
- La matriz ;9 es definida positiva puesto que B		����9;9����9: > 0,				∀�� ∈ � − �0�������9;9����9: = 0	 ⇔ 				 ∀�� = 0�� C 
- Los elementos de la diagonal principal de la matriz GE son positivos, %��< · %��< > 0, ∀> = 1,2, … , " 
Teorema: Sea ��,∙� un espacio vectorial euclídeo y sean # = $%��&, %��', … , %��)* y F =$G�&, G�', … , G�)* dos bases de �. Las matrices del producto escalar en las bases # y F se 
relacionan de la siguiente manera: 
	;I = �G�&, G�', … , G�)�9: · ;9 · �G�&, G�', … , G�)�9 
siendo �G�&, G�', … , G�)�9 la matriz de cambio de base. 
Definición: Dos matrices J y K de igual dimensión son congruentes si existe una matriz regular L tal que K = L:JL. 
 
 
239 Espacio vectorial euclídeo 
6.4 Norma inducida por un producto escalar 
Definición: Se dice que un espacio vectorial ��,∙� es normado si existe una aplicación ℎ:	�	 →	ℝN que cumple: 
- ℎ���� ≥ 0, ∀�� ∈ � 
- ℎ���� = 0 ⇔ �� = 0�� 
- ℎ�!��� = |!|ℎ����, ∀�� ∈ �, ∀! ∈ ℝ 
- ℎ��� + 
�� ≤ ℎ���� + ℎ�
�, ∀��, 
� ∈ �	 
Definición: Sea ��,∙� un espacio vectorial euclídeo. Se llama norma inducida al producto 
escalar “	·	” a una aplicación ℎ:	�	 → 	 ℝN tal que: 
ℎ:	�	 → 	 ℝN															�� → +R�� · �� 
Esta aplicación se denota por ‖∙‖. 
Propiedades de la norma: 
- ‖��‖ ≥ 0, ∀�� ∈ � 
- ‖��‖ = 0, si y sólo si, �� = 0�� 
- ‖!��‖ = |!|‖��‖		∀�� ∈ �, ∀! ∈ ℝ 
- ‖�� +	
�‖ ≤ ‖��‖ +	‖
�‖	∀��, 
� ∈ � 
Definición: El ángulo T formado por dos vectores no nulos ��, 
� ∈ � es: 
UVWT = �� · 
�‖��‖ · ‖
�‖ ⇒ T = YZUUVW [ �� · 
�‖��‖ · ‖
�‖\ 
6.5 Ortogonalidad y ortonormalidad 
Definición: Dos vectores �� e 
� de un espacio vectorial euclídeo ��,∙� son ortogonales si su 
producto escalar es nulo, 	�� · 
� = 0. 
Definición: Un vector �� de un espacio vectorial euclídeo ��,∙� es normal o unitario si su norma 
es uno, ‖��‖ = 1. 
Proposición: Sea �� un vector no nulo del espacio vectorial euclídeo ��,∙�,	entonces el vector 0�‖0�‖ 
es normal. Al proceso de dividir un vector por su norma se le llama normalización del vector. 
 
 
240 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Definición: Un sistema de vectores $%��&, %��', … , %��)* de un espacio vectorial euclídeo ��,∙� es 
ortogonal si los vectores que lo forman son ortogonales dos a dos: 
%��< · %��= = 0,				∀>, ? = 1,2, … , "		> ≠ ? 
Teorema: Todo sistema de vectores ortogonal de un espacio vectorial euclídeo ��,∙� es libre. 
Definición: Un sistema de vectores de un espacio vectorial euclídeo ��,∙� es ortonormal si es 
ortogonal y además todos sus vectores son unitarios. 
Proposición: Si el sistema $%��&, %��', … , %��)* es ortogonal, el sistema ^ _���`‖_���`‖ , _���a‖_���a‖ , … , _���b‖_���b‖c también 
lo es. 
6.6 Método de Gram-Schimdt 
Todo espacio vectorial euclídeo ��,∙� admite una base ortonormal. 
 El método de Gram-Schimdt es un método constructivo que partiendo de una base cualquiera 
de � permite obtener una base ortonormal de dicho espacio. El proceso de Gram-Schimdt 
consiste en lo siguiente: 
Sea # = $%��&, %��', … , %��)* una base arbitraria de � a partir de la cual se desea obtener una base 
ortonormal F = $G�&, G�', … , G�)*. 
Se obtiene el vector unitario G�& normalizando el primer vector de la base #: 
G�& = %��&‖%��&‖ 
Se genera un vector d���' = %��' + !G�& y se determina ! para que d���' sea ortogonal a G�&: G�& · d���' = G�& · �%��' + !G�&� = G�& · %��' + ! = 0 ⇒ ! = −�G�& · %��'� 
Sustituyendo el valor de ! en la expresión de d���': d���' = %��' + !G�& = %��' − �G�& · %��'�G�& 
El vector d���' no es nulo puesto que si lo fuese, los vectores %��& y %��' serían linealmente 
dependientes, lo que es imposible dado que # es una base. 
Se normaliza el vector d���' obteniéndose así el segundo vector de la base F: 
G�' = d���'‖d���'‖