Deposito Algebra lineal (82)

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244 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Como ��#� + �
#
 +⋯+ ��#� = ��	. �	 ≤ ‖��	‖. ‖�	‖ (desigualdad de Cauchy Schwartz) se tiene 
que ‖��	 + �	‖
 = ‖��	‖
 + 2���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� + ‖�	‖
 ≤ ‖��	‖
 + 2‖��	‖. ‖�	‖ + ‖�	‖
 
																												= �‖��	‖ + ‖�	‖�
	
Sacando raíz cuadrada se obtiene que ‖��	 + �	‖ ≤ ‖��	‖ + ‖�	‖ ∀��	, �	 ∈ ℝ� 
Con lo que se ha demostrado que ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 es una norma. 
 
b) Se comprueba si la función ‖��	‖ = |��| + |�
| + ⋯+ |��| cumple las propiedades 
- ‖��	‖ = |��| + |�
| + ⋯+ |��| 	≥ 0, ∀��	 ∈ ℝ� 
 Si ‖��	‖ = |��| + |�
| + ⋯+ |��| 	= 0 ⇒ �� = 0 ∀ � = 1,2,… , !	 puesto que 								|��| ≥ 0	 ∀� = 1,2, … , ! ⇒ ��	 = 0�	 
- ‖���	‖ = ‖����, ��
, … , ����‖ = |���| + |��
| + ⋯+ |���|	
											= |�|	�|��| + |�
| + ⋯+ |��|� = |�|‖��	‖, ∀��	 ∈ ℝ�, ∀� ∈ ℝ	
- ‖��	 + �	‖ = |�� + #�| + |�
 + #
| + ⋯+ |�� + #�| ≤ |��| + |#�| + |�
| + |#
| + ⋯+																	+		|��| + |#�| = |��| + |�
| + ⋯+ |��| + |#�| + |#
| + ⋯+ |#�| 
 = ‖��	‖ + ‖�	‖ ∀��	, �	 ∈ ℝ� 
Por lo que ‖��	‖ = |��| + |�
| + ⋯+ |��| es una norma. 
 
c) Se comprueba si la función ‖��	‖ = �|��| + |�
| + ⋯+ |��| es una norma 
- ‖��	‖ = �|��| + |�
| + ⋯+ |��| 	≥ 0, ∀��	 ∈ ℝ�	
 Si ‖��	‖ = �|��| + |�
| + ⋯+ |��| 	= 0 ⇒ �� = 0 ∀ � = 1,2,… , ! ⇒ ��	 = 0�	 
- ‖���	‖ = ‖����, ��
, … , ����‖ = �|���| + |��
| + ⋯+ |���| 
 = �|�|�|��| + |�
| + ⋯+ |��|� = �|�|�|��| + |�
| + ⋯+ |��| 
 = �|�|‖��	‖ ≠ |�|‖��	‖, ∀��	 ∈ ℝ�, ∀� ∈ ℝ 
Como la tercera propiedad no se cumple, ‖��	‖ = �|��| + |�
| + ⋯+ |��| no es una norma. 
 
 
P2. Sea ℙ���� el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno con '��� =( + )� donde (, ) ∈ ℝ y sea la aplicación *:	ℙ���� × ℙ���� 	→ 	ℝ, tal que *.'����, '
���/ =
0 '���� · '
���2��3 . 
a) Demostrar que * es un producto escalar. 
b) Calcular el ángulo formado por los polinomios '��� = 2 + � y 4��� = 1 + 3� 
 
 
 
245 Espacio vectorial euclídeo 
RESOLUCIÓN 
a) La aplicación * será un producto escalar si cumple las siguientes propiedades: 
- Propiedad conmutativa ∀'����, '
��� ∈ ℙ����,			*.'����, '
���/ = *.'
���, '����/	
*.'����, '
���/ = 6 '���� · '
���2��3 = 6 '
��� · '����2� = *.'
���, '����/
�
3 
- Definida positiva 7∀'��� ∈ ℙ���� − {0},			*.'���, '���/ > 0*.'���, '���/ = 0 ⇔ '��� = 0 = 
	
Se demuestra que ∀'��� ∈ ℙ���� − {0},			*.'���, '���/ > 0	 
*.'���, '���/ = 6 '��� · '���2��3 = 6 '
���2�
�
3 
Por las propiedades de la integral definida, si >��� > 0 en � ∈ [0,1] ⇒ 0 >���2��3 > 0 ∀'��� ∈ ℙ����, '
��� > 0 en � ∈ ℝ. Por tanto 0 '
���2��3 > 0 ⇒ *.'���, '���/ > 0 
A continuación se demuestra que *.'���, '���/ = 0 ⇔ '��� = 0 
*.'���, '���/ = 6 '��� · '���2��3 = 6 '
���2�
�
3 = 0 ⇔ '
��� = 0 ⇔ '��� = 0 
Demostradas las dos condiciones anteriores, se concluye que * es definida positiva. 
 
- Bilinealidad ∀'����, '
���, 'A��� ∈ ℙ����, ∀B, C ∈ ℝ: 
*.B ∘ '���� + C ∘ '
���, 'A���/ = B*.'����, 'A���/ + C*.'
���, 'A���/ 
Se desarrolla la parte izquierda de la igualdad 
*.B ∘ '���� + C ∘ '
���, 'A���/ = 6 .B ∘ '���� + C ∘ '
���/ · 'A���2��3 
																																																													= 6 B · .'���� · 'A���/2��3 +6 C · .'
��� · 'A���/2�
�
3 
																																																													= B6 '���� · 'A���2��3 + C6 '
��� · 'A���2�
�
3 
																																																													= B*.'����, 'A���/ + C*.'
���, 'A���/ 
Por lo que queda demostrado que * es un producto escalar. 
 
b) El ángulo E formado por dos vectores no nulos '���, 4��� ∈ ℙ���� viene dado por 
FGHE = '��� · 4���‖'���‖ · ‖4���‖ ⇒ E = (IFFGH J '��� · 4���‖'���‖ · ‖4���‖K 
 
 
246 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Se calcula el producto escalar de ambos polinomios 
'��� · 4��� = 6 '��� · 4���2��3 = 6 �2 + �� · �1 + 3��2�
�
3 = 6 �3�
 + 7� + 2�2�
�
3 
																																= =�A + 72�
 + 2�M3
� = 1 + 72 + 2 = 132 
Se calculan las normas de los polinomios 
‖'���‖ = +�'��� · '��� = N6 '��� · '���2��3 = N6 �2 + �� · �2 + ��2�
�
3 = 
																														= N6 ��
 + 4� + 4�2��3 = N=13 �A + 2�
 + 4�M3
� = N13 + 2 + 4 = N193 
‖4���‖ = +�4��� · 4��� = N6 4��� · 4���2��3 = N6 �1 + 3�� · �1 + 3��2�
�
3 = 
																												= N6 �9�
 + 6� + 1�2��3 = "=3�A + 3�
 + �|3� = √3 + 3 + 1 = √7 
Con lo que el ángulo que forman los dos polinomios es 
FGHE = '��� · 4���‖'���‖ · ‖4���‖ =
132"193 · √7
⇒ E = (IFFGH
S
T 132"193 · √7U
V = 12,53° 
 
 
P3. Sean * y > dos formas bilineales definidas en ℝ
 y ℝA respectivamente, cuyas matrices 
asociadas respecto de la base canónica son Y = Z			1 −2−2 			1[ y 	\ = ]3 −1 45 			6 74 −3 0^. Determinar 
si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a) 	Y define un producto escalar. 
b) \	define un producto escalar. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Falso. Véase que aunque Y es simétrica �Y = Y_�,	no es definida positiva ya que, 
∃�	 ∈ ℝ
, �	Y�	_ < 0