Deposito Algebra lineal (83)

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247 Espacio vectorial euclídeo 
�	Y�	_ = ��, #� Z			1 −2−2 			1[ Z�#[ = �� − 2#,−2� + #� Z�#[ = �
 + #
 − 4�# = �� − #�
 − 2�# 
Sea �	 = �1,1� ∈ ℝ
 ⇒ �	Y�	_ = �� − #�
 − 2�# = −2 < 0 
Por tanto, la matriz Y no define un producto escalar. 
 
b) Falso. Para que \ defina un producto escalar tiene que ser simétrica y definida positiva. 
Como \ ≠ \_, la matriz \ no es simétrica, por lo que no puede definir un producto escalar. 
 
 
P4. Sea ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 la norma euclídea de ℝ�. Demostrar: 
a) 2‖�	‖
 + 2‖#	‖
 = ‖�	 + #	‖
 + ‖�	 − #	‖
 (ley del paralelogramo) 
b) 4�	 · #	 = ‖�	 + #	‖
 − ‖�	 − #	‖
 
c) ‖�	 + #	‖ ≤ ‖�	‖ + ‖#	‖ (desigualdad triangular), utilizando que |�	 · #	| ≤ ‖�	‖ · ‖#	‖ 
(desigualdad de Cauchy Schwartz). 
 
RESOLUCIÓN 
a) Sean �	 = ���, �
, … , ��� e #	 = �#�, #
, … , #�� dos vectores de	ℝ�. El producto escalar usual 
de ℝ� es �	 · #	 = ��#� + �
#
 +⋯+ ��#�. 
Se desarrolla el lado izquierdo de la igualdad 
2‖�	‖
 + 2‖#	‖
 = 2���
 + �

…+ ��
� + 2�#�
 + #

…+ #�
� 
Se desarrollan los dos términos del lado derecho de la igualdad 
7‖�	 + #	‖ = �	��� + #��
 + ��
 + #
�
 +⋯+ ���+#��
‖�	 − #	‖ = �	��� − #��
 + ��
 − #
�
 +⋯+ ���−#��
 = 		⇒	 
‖�	 + #	‖
 + ‖�	 − #	‖
 = 
[��� + #��
 + ��
 + #
�
 +⋯+ ���+#��
] + [��� − #��
 + ��
 − #
�
 +⋯+ ���−#��
] = 
2���
 + �

…+ ��
� + 2�#�
 + #

…+ #�
� 
Como ambos lados de la igualdad coinciden se cumple la ley del paralelogramo 
 
b) Sean �	 = ���, �
, … , ��� e #	 = �#�, #
, … , #�� dos vectores de	ℝ�. 
Se desarrollan ambos miembros de la igualdad 
	4�	 · #	 = 4���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� 
 
 
248 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
‖�	 + #	‖
 − ‖�	 − #	‖
 = 
[��� + #��
 + ��
 + #
�
 +⋯+ ���+#��
] − [��� − #��
 + ��
 − #
�
 +⋯+ ���−#��
] = 
2���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� + 2���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� = 4���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� 
Ambos lados coinciden, por lo que queda demostrada la igualdad. 
 
c) Se eleva al cuadrado la parte izquierda de la desigualdad triangular 
‖�	 + #	‖
 = ��	 + #	� · ��	 + #	� = ‖�	‖
 + ‖#	‖
 + 2�	 · #	 ≤ ‖�	‖
 + ‖#	‖
 + 2|�	 · #	| 
y se aplica la desigualdad de Cauchy Schwartz 
‖�	 + #	‖
 ≤ ‖�	‖
 + ‖#	‖
 + 2|�	 · #	| ≤ ‖�	‖
 + ‖#	‖
 + 2‖�	‖ · ‖#	‖ = �‖�	‖ + ‖#	‖�
 ⇒ 
‖�	 + #	‖
 ≤ �‖�	‖ + ‖#	‖�
 
Aplicando la raíz cuadrada en ambas partes de la desigualdad obtenida, se tiene que 
‖�	 + #	‖
 ≤ �‖�	‖ + ‖#	‖�
 ⇒ ‖�	 + #	‖ ≤ ‖�	‖ + ‖#	‖ 
 
 
P5. Sea el producto escalar *��	, #	� = 3��#� + 2��#
 − ��#A + 2�
#� + 3�
#
 − �A#� + �A#A 
donde �	 = ���, �
, �A� e #	 = �#�, #
, #A�. 
a) Obtener la matriz de Gramm respecto de la base canónica. 
b) Calcular el ángulo formado por los vectores ��	 = �1,−1,0� y �	 = �−1,1, −1�. 
c) Obtener la forma genérica de los vectores ortogonales al vector ��	 = �1,−1,0�. Determinar 
tres de ellos. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Sea b = {c	�, c	
, c	A} la base canónica de ℝA. Para obtener la matriz de Gramm se debe 
calcular el producto escalar de todos los vectores de la base tomados de dos en dos. Como la 
matriz de Gramm es simétrica no es necesario calcular los nueve productos escalares, basta con 
calcular los siguientes 
dee
f
eeg
*�c	�, c	�� = c	� · c	� = 3																								*�c	�, c	
� = c	� · c	
 = 2 = *�c	
, c	��				*�c	�, c	A� = c	� · c	A = −1 = *�c	A, c	��*�c	
, c	
� = c	
 · c	
 = 3*�c	
, c	A� = c	
 · c	A = 0*�c	A, c	A� = c	A · c	A = 1 = *�c	A, c	
�
= ⇒ 			\ = ]			3 2 −1			2 3 			0−1 0 			1^ 
 
 
 
249 Espacio vectorial euclídeo 
b) El ángulo E formado por los vectores ��	 = �1,−1,0� y �	 = �−1,1,−1� se calcula utilizando 
la fórmula 
cos E = ��	 · �	‖��	‖ · ‖�	‖ 
Se obtiene el producto escalar ��	 · �	 y las normas de cada vector 
��	 · �	 = *���	, �	� = −1 
‖��	‖ = ���	 · ��	 = �*���	, ��	� = √2 
‖�	‖ = ��	 · �	 = �*��	, �	� = √1 = 1 
Entonces 	FGH E = k�√
 	⇒ E = (IFFGH Zk�√
[ ⇒ E = Alm 
 
c) Sea n��	 = �n�, n
, nA� un vector genérico de	ℝA. Para que n��		sea ortogonal a ��	, n��	 ⊥ ��	, se 
debe cumplir que n��	 · ��	 = 0. Desarrollando el producto escalar anterior 
n��	 · ��	 = *�n��	, ��	� = n� −n
 −nA = 0	 ⇒ n� = n
 +nA 
Por tanto la forma genérica del vector n��		es �n
 +nA, n
, nA�	∀n
, nA ∈ ℝ. Para obtener casos 
particulares basta asignar valores a las coordenadas	n
 y		nA, por ejemplo, los vectores n��	 =�2,1,1�, �	 = �1,1,0� y p	 = �1,0,1� son ortogonales al vector ��	 respecto del producto escalar 
anterior. 
 
 
P6. Sea q = {�1,2,2�, �3,1,2�, �5,0,−1�} una base de 	ℝA, ortonormalizar la base utilizando el 
producto escalar usual. 
 
RESOLUCIÓN 
Para ortonormalizar la base q se utilizará el método de Gramm-Schimdt. Dicho método parte de 
la base inicial q = {�1,2,2�, �3,1,2�, �5,0, −1�} y construye una base r = {�	�, �	
, �	A} siendo los 
elementos de r unitarios y ortogonales dos a dos. 
Denótese la base q = {��	�, ��	
, ��	A} siendo ��	� = �1,2,2�, ��	
 = �3,1,2� y ��	A = �5,0, −1�. 
Se calcula el vector �	�	normalizando el vector ��	� 
�	� = ��	�‖��	�‖ 
‖��	�‖ = ���	� · ��	� = 3 ⇒ �	� = s13 , 23 , 23t