Deposito Algebra lineal (84)

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250 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Para obtener el vector �	
, se construye el vector n��	
 = ��	
 + ��	� y se determina el parámetro � 
para que n��	
 sea ortogonal a �	� 
� = −��	� · ��	
� = −s13 , 23 , 23t · �3,1,2� = −3 
Por tanto, n��	
 = ��	
 + ��	� = �3,1,2� − 3 Z�A , 
A , 
A[ = �2,−1,0�. 
El segundo vector de la base r, además de ser ortogonal a �	�	debe ser unitario, por lo que se 
normaliza 
�	
 = n��	
‖n��	
‖ 
‖n��	
‖ = �n��	
 · n��	
 = √5 ⇒ �	
 = s 2√5 ,−1√5 , 0t 
Para obtener el vector �	A, se construye el vector n��	A = ��	A + u��	� + u
�	
 
Se determinan los parámetros u� y u
 para que el vector n��	A sea ortogonal a los vectores �	� y �	
 ⇒ u� = −��	� · ��	A� y u
 = −��	
 · ��	A� 
u� = −��	� · ��	A� = −s13 , 23 , 23t · �5,0,−1� = −1 
																																											u
 = −��	
 · ��	A� = −s 2√5 ,−1√5 , 0t · �5,0,−1� = −2√5 
Es decir, el vector n��	A es 
n��	A = �5,0,−1� − s13 , 23 , 23t − 2√5 · s 2√5 ,−1√5 , 0t = s23 , 43 ,−5		3 t 
Al igual que los otros dos vectores de la base ortonormal r, el tercer vector debe ser unitario 
�	A = n��	A‖n��	A‖ 
‖n��	A‖ = �n��	A · n��	A = √5 ⇒ �	A = s 23√5 , 43√5 , −53√5t 
En conclusión, la base ortonormal es r = vZ�A , 
A , 
A[ , Z 
√w , k�√w , 0[ , Z 
A√w , mA√w , kwA√w[x. 
 
 
P7. Sea y = {��, #, z�|	� + # − 2z = 0: un subespacio vectorial de	ℝA. 
a) Obtener el subespacio vectorial ortogonal y{. 
b) Determinar si el vector �	 = (1,1,2) pertenece al subespacio ortogonal. 
 
 
 
251 Espacio vectorial euclídeo 
RESOLUCIÓN 
a) El subespacio vectorial ortogonal a y está formado por todos los vectores que son ortogonales 
a cualquier vector de y. 
y{ = 9�	 ∈ 	ℝA: �	 · #	 = 0	∀#	 ∈ y	: 
Cualquier vector del subespacio vectorial y cumple que 
∀#	 = (#�, #
, #A) ∈ y:		#� + #
 − 2#A = 0 
es decir, es ortogonal al vector (1,1,−2) 
#� + #
 − 2#A = 0 ⇔ (#�, #
, #A) · (1,1, −2) 	= 0 ⇔ #	 · (1,1,−2) 	= 0 ⇔ #	 ⊥ (1,1, −2) 
Por lo que �	 = (1,1,−2) ∈ y{ ⇒ 〈(1,1,−2)〉 ⊆ y{. 
Por otro lado, como 	ℝA = y⨁y{ ⇒ 2�� 	ℝA = 2�� y + 2�� y{ �����
������	 2�� y{ = 1. 
Entonces, 	y{ = 〈(1,1, −2)〉. 
 
b) El vector �	 pertenecerá al subespacio vectorial ortogonal si ��	 · �	 = 0		∀��	 	∈ y. 
Sea ��	 = (1,1,1) ∈ y, ��	 · �	 = (1,1,1) ∙ (1,1,2) = 4 ≠ 0	 ⇒ Los vectores ��	 y �	 no son 
ortogonales, por tanto el vector �	 no pertenece al subespacio vectorial ortogonal.	 
Nótese que �	 = (1,1,2) ∉ y{ = 〈(1,1,−2)〉. 
 
 
P8. Sea y = 9(�, #, z, p)|	� − 2# + p = 0, � + # + z + p = 0:	un subespacio vectorial de 	ℝm, 
determinar el subespacio ortogonal al mismo. 
 
RESOLUCIÓN 
Recordar que y{ está formado por todos los vectores ortogonales a los vectores del subespacio 
vectorial y. 
y{ = 9�	 ∈ 	ℝm: �	 · #	 = 0	∀#	 ∈ y	: 
Dado que todo vector perteneciente a y es combinación lineal de los vectores de su base, 
cualquier vector del subespacio vectorial ortogonal debe ser perpendicular a los vectores de la 
base de y. Se calcula la base del subespacio vectorial y. 
Sea �	 = (��, �
, �A, �m) ∈ y, luego �	 satisface las siguientes igualdades 
� �� − 2�
 + �m = 0�� + �
 + �A + �m = 0 ⇒= ��m = −�� + 2�
�A = −3�
 = 
Es decir, la forma genérica de cualquier vector perteneciente a y es 
 
 
252 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
�	 = (��, �
, −3�
, −�� + 2�
) = ��(1,0,0,−1) + �
(0,1,−3,2) 
Además como los vectores (1,0,0,−1) y (0,1,−3,2) son linealmente independientes forman 
una base q = 9(1,0,0, −1), (0,1,−3,2): del subespacio vectorial y. 
Se calculan los vectores pertenecientes al subespacio ortogonal. 
Sea #	 = (#�, #
, #A, #m) ∈ y{ ⇒ #	 ⊥ (1,0,0,−1) e #	 ⊥ (0,1,−3,2). Desarrollando los productos 
escalares resultantes se obtiene que 
#	 ⊥ (1,0,0,−1) ⇒ (#�, #
, #A, #m) · (1,0,0, −1) = 0 ⇒ #� − #m = 0 #	 ⊥ (0,1,−3,2) ⇒ 	 (#�, #
, #A, #m) · (0,1,−3,2) = 0 ⇒ #
 − 3#A + 2#m = 0 
En conclusión, el subespacio vectorial ortogonal es 
y{ = 9(#�, #
, #A, #m) ∈ 	ℝm|		#� − #m = 0, #
 − 3#A + 2#m = 0: 
 
 
P9. Demostrar que los subespacios vectoriales r = 〈(1,0,−2,−1), (2,0,1,−2)〉 y � =9(( + ), (, 0, ( + ))|(, ) ∈ ℝ	: son ortogonales. 
 
RESOLUCIÓN 
Para demostrar que r y � son ortogonales basta demostrar que 
∀�	 ∈ r	 ∧	∀n��	 ∈ �, �	 ∙ n��	 = 0 
Sea n��	 = (( + ), (, 0, ( + )) un vector genérico de �	 y �		un vector genérico de r, 
�	 = �(1,0,−2,−1) + #(2,0,1,−2) = (� + 2#, 0, −2� + #,−� − 2#) 
Se comprueba si �	 ∙ n��	 = 0 
�	 ∙ n��	 = (� + 2#, 0,−2� + #,−� − 2#) ∙ (( + ), (, 0, ( + )) 
 = �( + �) + 2#( + 2#) − �( − �) − 2#( − 2#) = 0 
Queda demostrado que r y � son ortogonales. 
Otra forma de demostrar que los subespacios son ortogonales es comprobar que los vectores de 
las bases lo son. 
 
 
P10. Sea r� = 9(−( − ),−), 3()|(, ) ∈ ℝ	: un subespacio vectorial de ℝA.	Determinar las 
ecuaciones implícitas del subespacio ortogonal de r�.