Deposito Algebra lineal (85)

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253 Espacio vectorial euclídeo 
RESOLUCIÓN 
Si r�{ es el subespacio ortogonal de r�, entonces: ∀��	 ∈ r� ∧ 	∀n��	 ∈ r�{, ��	 ∙ n��	 = 0. 
Se calcula una base de r� ∀��	 ∈ r�, ∃(, ) ∈ ℝ: ��	 = (−( − ),−), 3() ⇒ ��	 = ((−1,0,3) + )(−1,−1,0) = 〈(−1,0,3), (−1,−1,0)〉 
Como ��	� = (−1,0,3) y ��	
 = (−1,−1,0) son linealmente independientes, q = 9��	�, ��	
: es una 
base de r. 
Dado que los subespacios r� y r�{ son suplementarios, se cumple la ecuación 2��ℝA = 2��r� + 2��r�{ ⇒2��r�{ = 2��ℝA − 2��r� = 3 − 2 = 1 
Por lo que r�{ = 〈n��	〉 donde n��		es un vector genérico de ℝA, n��	 = ((, ), F) tal que 9��	�, ��	
, n��	: es 
un sistema libre y ��	� ∙ n��	 = 0 y ��	
 ∙ n��	 = 0. Entonces ��	� ∙ n��	 = (−1,0,3) ∙ ((, ), F) = 0 ⇒ −( + 3F = 0 ⇒ F = (/3 ��	
 ∙ n��	 = (−1,−1,0) ∙ ((, ), F) = 0 ⇒ −( − ) = 0 ⇒ ) = −( 
Con lo que n��	 = ((,−(, (/3), y r�{ = 9((,−(, (/3)/	( ∈ 	ℝ	: = 〈(3, −3,1)〉. 
Para calcular las ecuaciones implícitas de r�{ se exige que I> = ]			3 �−3 #			1 z^ = 1. Además, como 2��r�{ = 1, se requieren dos ecuaciones implícitas linealmente independientes, por tanto, se 
consideran los siguientes menores: 
M			3 �−3 #M = 0 y �3 �1 z� = 0 ⇒ 3# + 3� = 0 y 3z = � 
Las ecuaciones implícitas de r�{ son 	v3# + 3� = 03z = � = ∀	�, #, z ∈ ℝ 
 
 
 
254 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
CUESTIONES RESUELTAS 
 
C1. Se considera la aplicación *:	ℝ
 × ℝ
 	→ 	ℝ donde *(��	, �	) = 2��	 · �	 − 3, siendo “·” el 
producto escalar usual entre vectores. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas 
o falsas 
a) *	es definida positiva. 
b)	* cumple la propiedad conmutativa. 
c) * cumple la propiedad de bilinealidad. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Falso. * no es definitiva positiva ya que ∃��	 ∈ ℝ
 − �0�	�,			*(��	, ��	) < 0. 
*(��	, ��	) = 2��	 · ��	 − 3 = 2(�
 + #
) − 3 
Sea ��	 = (1,0) ⇒ *(��	, ��	) = −1 < 0 
 
b) Verdadero. * cumple la propiedad conmutativa si ∀��	, �	 ∈ ℝ
,			*(��	, �	) = *(�	, ��	) 
Se calculan los dos términos de la igualdad anterior 
�*(��	, �	) = 2��	 · �	 − 3*(�	, ��	) = 2�	 · ��	 − 3= 
Como ��	 · �	 = �	 · ��	, entonces *(��	, �	) = *(�	, ��	), por lo que * cumple la propiedad conmutativa. 
 
c) Falso. * cumple la propiedad de bilinealidad si 
*(B ∘ ��	 + C ∘ �	, n��	) = B*(��	, n��	) + C*(�	, n��	), ∀��	, �	,n��	 ∈ ℝ
, ∀B, C ∈ ℝ 
siendo “∘” el producto entre un escalar y un vector. 
Se desarrollan por separado ambos lados de la igualdad anterior 
� *(B��	 + C�	, n��	) = 2(B��	 + C�	) · n��	 − 3B*(��	, n��	) + C*(�	,n��	) = B(2��	 · n��	 − 3) + C(2�	 · n��	 − 3) = 2(B��	 + C�	) · n��	 − 3(B + C)= 
Las expresiones resultan iguales sólo si B + C = 1. Con lo que * no cumple la propiedad de 
bilinealidad. 
 
 
 
 
 
 
255 Espacio vectorial euclídeo 
 
C2. Sea el espacio vectorial euclídeo ℝ�. Determinar si las siguientes afirmaciones son 
verdaderas o falsas 
a) Los vectores de la base canónica q = 9c	�, c	
, … , c	�: de ℝ� forman un sistema ortonormal. 
b) Todo conjunto ortonormal de vectores forma una base de ℝ�. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. El sistema q = 9c	�, c	
, … , c	�: es ortonormal si los vectores son unitarios y 
ortogonales dos a dos. Como se trata de la base canónica, c	� = (1,0,0,… ,0), c	
 = (0,1,0,… ,0), … , c	� = (0,0,… ,0,1)	, todos los vectores son unitarios ‖c	�‖ = 1, � = 1, 2, … , ! 
Además, los vectores son ortogonales dos a dos puesto que c	� · c	� = 0, ∀� ≠ � 
Por lo que se ha demostrado que los vectores de la base canónica de ℝ� forman un sistema 
ortonormal. 
 
b) Falso. Es suficiente tomar un subconjunto de vectores de la base canónica, por ejemplo q� = 9c	�, c	
, … , c	�: siendo � < !. Todos los vectores del conjunto q� son unitarios y 
ortogonales dos a dos, por lo que q� es un conjunto ortonormal de vectores. Pero, q� no es una 
base de ℝ� puesto que, aunque esté formado por vectores que son linealmente independientes 
no es un sistema generador de ℝ�. 
 
 
C3. Se considera el espacio vectorial euclídeo � de dimensión !. Determinar si las siguientes 
afirmaciones son verdaderas o falsas 
a) Sea r = 9�	�, �	
, … , �	�: un sistema libre formado por vectores unitarios de �, entonces el 
sistema r es ortonormal. 
b) Cualquier sistema ortonormal de vectores de � es libre. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Falso. El sistema será ortonormal si se verifican las siguientes condiciones 
- Los vectores son normales o unitarios, es decir ‖�	�‖ = 1 ∀� = 1, 2, … ,� 
- Los vectores son ortogonales dos a dos, es decir �	� · �	� = 0 ∀� ≠ � 
La primera condición es un dato dado, con lo que sería suficiente que se verificase la segunda 
condición. Para demostrar que ésta no se verifica se utiliza un contraejemplo. Sea r =