Deposito Algebra lineal (86)

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256 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
9c	�, c	
, �	: siendo c	� = (1,0,0), c	
 = (0,1,0) y �	 = Z �√
 , 0, �√
[. Este sistema es libre, puesto que 
el determinante de la matriz formado por los tres vectores es no nulo 
��
1 0 1√20 1 00 0 1√2�
� = 1√2 ≠ 0 
y además, los vectores son unitarios, ‖c	�‖ = ‖c	
‖ = ‖�	‖ = 1. Se comprueba si los vectores 
son ortogonales dos a dos o lo que es lo mismo, si su producto escalar es cero c	� · c	
 = 0 ⇒ c	� y c	
 son ortogonales. 																																																				c	
 · �	 = 0 ⇒ c	
 y �	 son ortogonales. 
 c	� · �	 = �√
 ≠ 0 ⇒ c	� y �	 no son ortogonales. 
Por lo que el sistema de vectores r no es ortogonal, y por tanto no puede ser ortonormal. 
 
b) Verdadero. Sea el sistema � = ���	�, ��	
, … , ��	�� un sistema ortonormal de vectores de �. Esto 
significa que los vectores son unitarios, ‖��	�‖ = 1 ∀� = 1, 2, … , ' y ortogonales dos a dos, ��	� · ��	� = 0 ∀� ≠ �. 
Utilizando el método de reducción al absurdo supóngase que la afirmación no es cierta, es decir, 
que el sistema de vectores ortonormal es ligado. Entonces, existe un vector ��	� que es 
combinación lineal de los otros. 
∃B� ≠ 0 tal que ��	� = B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	� 
Realizando el producto escalar del vector ��	� con el resto de vectores del sistema 
de
ef
ee
g ��	� · ��	� = .B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	�/ · ��	���	� · ��	
 = .B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	�/ · ��	
⋮��	� · ��	�k� = .B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	�/ · ��	�k���	� · ��	��� = .B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	�/ · ��	���⋮��	� · ��	� = .B���	� + B
	��	
 + B�k�	��	�k� + B���	��	��� +⋯+ B���	�/ · ��	�
= 
Como los vectores son unitarios y ortogonales dos a dos se tiene 
dee
f
eeg
��	� · ��	� = B���	� · ��	
 = B
⋮��	� · ��	�k� = B�k���	� · ��	��� = B���⋮��	� · ��	� = B�
= 
 
 
257 Espacio vectorial euclídeo 
Además teniendo en cuenta que ��	� es combinación lineal de los otros vectores, es decir, que 
existe algún B� ≠ 0, al menos uno de los productos escalares anteriores sería no nulo, con lo que 
el sistema de vectores no sería ortogonal. Esto contradice la hipótesis del enunciado y significa 
que lo supuesto no es cierto, es decir, que cualquier conjunto de vectores ortonormal es 
necesariamente libre. 
 
 
 
 
258 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
EJERCICIOS RESUELTOS CON MATHEMATICA 
 
M1. Sean � y � dos formas bilineales definidas en ℝ� y ℝ� respectivamente, cuyas matrices 
asociadas respecto de la base canónica son � = �			1 −2−2 			1
 y 	� = �
3 −1 45 			6 74 −3 0�. Determinar 
si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a) 	� define un producto escalar. 
b) �	define un producto escalar. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Para que la matriz � defina un producto escalar debe ser simétrica y definida positiva. Véase 
si es simétrica 
 
 
La matriz � sí es simétrica. Véase si es definida positiva. Sea el vector �� = �1,1� ∈ ℝ� 
 
 
Se ha comprobado que ∃�� ∈ ℝ�, ������ < 0, luego � no es definida positiva, y por tanto �	 no 
define un producto escalar.