Deposito Algebra lineal (87)

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259 Espacio vectorial euclídeo 
b) Véase si � es una matriz simétrica 
 
 
Por lo que la afirmación es falsa, es decir, � no es simétrica y por tanto no define un producto 
escalar. 
 
 
M2. Sea el producto escalar �� �, !�� = 3 "!" + 2 "!� − "!� + 2 �!" + 3 �!� − �!" + �!�, donde � = � ", �, �� e !� = �!", !�, !�� 
a) Obtener la matriz de Gramm respecto de la base canónica. 
b) Calcular el ángulo formado por los vectores $%� = �1,−1,0� y �� = �−1,1, −1�. 
c) Obtener la forma genérica de los vectores ortogonales al vector $%� = �1,−1,0�. Determinar 
tres de ellos. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se definen el producto escalar, la norma inducida y la base canónica 
 
 
Se calculan los productos escalares de todos los vectores de la base canónica tomados de dos en 
dos y se construye la matriz de Gramm 
 
 
260 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
b) Para calcular el ángulo entre dos vectores $%� y �� se utiliza la fórmula 
& = '()*+	 , $%� · ��‖$%�‖ · ‖��‖/ 
 
 
c) Sea 0%%� = �0", 0�, 0�� un vector genérico de 	ℝ�. El vector 0%%� es ortogonal a $%� si el producto 
escalar 0%%� · $%� = 0 es nulo 
 
Por lo que la forma genérica del vector 0%%� es 
 
Para obtener casos particulares basta asignar distintos valores a 02 y	03 , por ejemplo 
 
 
 
 
 
 
261 Espacio vectorial euclídeo 
 
 
M3. Sea 1 = 2�1,2,2�, �3,1,2�, �5,0,−1�3 una base de 	ℝ�, ortonormalizar la base utilizando el 
producto escalar usual. 
 
RESOLUCIÓN 
 
Para ortonormalizar la base 1 = 2$%�", $%��, $%��3	 se utiliza el método de Gramm-Schmidt. Este 
método parte de una base arbitraria 1 y construye una base ortogonal 4 = 2��", ���, ���3 siendo 
567
68��" = 9%%�:||9%%�:||��� = <%%�=‖<%%�=‖	��� = <%%�>‖<%%�>‖	
? donde 					 0%%�� = $%�� + @��",			@ = −���" · $%���	0%%�� = $%�� + A"��" + A����,			A" = −���" · $%���, A� = −���� · $%���		 
Se definen los vectores $%�", $%�� y $%�� 
 
Se obtiene el primer vector de la base 
 
Se obtiene el segundo vector de la base 
 
 
Se obtiene el tercer vector de la base