Deposito Algebra lineal (88)

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262 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
En conclusión, la base ortonormal es 
4 = BC13 , 23 , 23D , C 2√5 , −1√5 , 0D , C 23√5 , 43√5 , −53√5DF 
Otra forma de obtener una base ortonormal es utilizar el comando Orthogonalize del programa 
Mathematica: 
 
 
 
M4. Sea G = 2� , !, H, I�|	 − 2! + I = 0, + ! + H + I = 03	un subespacio vectorial de 	ℝJ, 
determinar el subespacio ortogonal al mismo. 
 
RESOLUCIÓN 
 
El subespacio vectorial ortogonal a G está formado por todos los vectores que son ortogonales a 
los vectores de G, y por tanto, por los vectores ortogonales a los vectores de la base del mismo. 
Se obtiene un sistema generador de G 
 
 
 
 
 
263 Espacio vectorial euclídeo 
 
 
Es decir, 1 = 2�1,0,0,−1�, �0,1,−3,2�3 es un sistema generador de G. Se comprueba que es un 
sistema libre 
 
En conclusión, 1 = 2�1,0,0,−1�, �0,1,−3,2�3 es una base de G. 
Se calculan los vectores pertenecientes al subespacio vectorial GK. Sea !� = �!", !�, !�, !J� ∈GK		⇒ !� ⊥ �1,0,0,−1� e !� ⊥ �0,1,−3,2�, es decir, el producto escalar del vector !� con ambos 
vectores es nulo 
 
Las coordenadas de cualquier vector de GK, !� = �!", !�, !�, !J�, satisfacen las siguientes 
ecuaciones implícitas 
O !" = !J!� + 2!J = 3!� ? 
Por lo que el subespacio ortogonal a G es 
GK = 2�!", !�, !�, !J� ∈ 	ℝJ|		!" − !J = 0, !� − 3!� + 2!J = 03 
 
 
M5. Sea 4" = 2�−' − P,−P, 3'�|	', P ∈ ℝ	3	un subespacio vectorial de ℝ�, determinar las 
ecuaciones implícitas del subespacio ortogonal a 4". 
 
 
 
 
 
264 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
RESOLUCIÓN 
 
Procediendo se forma similar al ejercicio anterior se calcula una base del subespacio vectorial 
4" 
 
 
 
Como los vectores P%�" = �−1, 0, 3� y P%�� = �−1,−1, 0� son linealmente independientes, 
1 = QP%�", P�R es una base de 4". 
Por otro lado, dado que los subespacios 4" y 4"K son suplementarios 
STUℝ� = STU4" + STU4"K ⇒STU4"K = STUℝ� − STU4" = 3 − 2 = 1 
es decir, 4"K = 〈0%%�〉 donde 0%%� = �', P, )� es un vector genérico de ℝ� tal que 2$%�", $%��, 0%%�3 es un 
sistema libre 	y además se cumple que $%�" ∙ 0%%� = 0 y $%�� ∙ 0%%� = 0 
 
 
Entonces, la forma genérica del vector 0%%� es �30�, −30�, 	0��, 
 
siendo un caso particular el vector �3, −3, 1�.