Herramientas algenbra lineal (42)

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124 CAPÍTULO 5. DETERMINANTES
9. Sea A una matriz de Mn(R) tal que Ap = 0 para un cierto p ∈ N (una tal matriz
se denomina nilpotente). Probar que det(A) = 0.
Solución:
(detA)p = detAp = det 0 = 0
Luego
detA = 0.
— — —
10. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales siguientes, utilizando la regla de
Cramer.
a)

2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0
3x1 − 2x2 + x4 = 0
2x1 − 3x3 + x4 = −1
b)

x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 1
x1 − 2x2 + 3x3 = −1
x1 + 3x2 − x3 = 1
c)

x1 − x2 + x3 − x4 + 2x5 = 2
x1 + 2x2 + x3 − 2x5 = 1
x1 − x3 + 2x4 + x5 = 1
d)

3x1 + 2x2 + x3 + x6 = 1
x1 + 2x4 + x5 = 1
2x1 + 3x5 − x6 = 0
Solución:
a)
∣∣∣∣∣∣
2 −3 1
3 −2 0
2 0 −3
∣∣∣∣∣∣ = −11 6= 0.
Luego el sistema 
2x1 − 3x2 + x3 = −x4
3x1 − 2x2 = −x4
2x1 − 3x3 = −1− x4
es compatible y
x1 =
∣∣∣∣∣∣
x4 −3 1
−x4 −2 0
−1− x4 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 1
3 −2 0
2 0 −3
∣∣∣∣∣∣
=
−2 + 13x4
−11
125
x2 =
∣∣∣∣∣∣
2 x4 1
3 −x4 0
2 −1− x4 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 1
3 −2 0
2 0 −3
∣∣∣∣∣∣
=
−3 + 14x4
−11
x3 =
∣∣∣∣∣∣
2 −3 x4
3 −2 −x4
2 0 −1− x4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 1
3 −2 0
2 0 −3
∣∣∣∣∣∣
=
−5 + 5x4
−11
b)
∣∣∣∣∣∣
1 −2 2
1 −2 3
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0. El sistema es compatible indeterminado y el sistema

x1 − 2x2 + 2x3 = 1− x4
x1 − 2x2 + 3x3 = −1
x1 + 3x2 − x3 = 1
es compatible y
x1 =
∣∣∣∣∣∣
1− x4 −2 2
−1 −2 3
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 2
1 −2 3
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣
=
−13 + 7x4
−5
x2 =
∣∣∣∣∣∣
1 1− x4 2
1 −1 3
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 2
1 −2 3
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣
=
6− 4x4
−5
126 CAPÍTULO 5. DETERMINANTES
x3 =
∣∣∣∣∣∣
1 −2 1− x4
1 −2 −1
1 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 2
1 −2 3
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣
=
10− 5x4
−5
c)
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 2 1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0. El sistema es compatible indeterminado y el sistema
x1 − x2 + x3 = 2 + x4 − 2x5
x1 + 2x2 + x3 = 1 + 2x5
x1 − x3 = 1− 2x4 − x5
es compatible y
x1 =
∣∣∣∣∣∣
2 + x4 − 2x5 −1 1
1 + 2x5 2 1
1− 2x4 − x5 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 2 1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣
=
8− 4x4 − 5x5
6
x2 =
∣∣∣∣∣∣
1 2 + x4 − 2x5 1
1 1 + 2x5 1
1 1− 2x4 − x5 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 2 1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣
=
−1− x4 + 4x5
3
x3 =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −12 + x4 − 2x5
1 2 1 + 2x5
1 0 1− 2x4 − x5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 2 1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣
=
2 + 8x4 + x5
6