Álgebra Lineal Mora (29)

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Álgebra lineal
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Defi nición 1.3.4. Dos sistemas de ecuaciones
 a11x1 	 a12x2 	 · · · 	 a1nxn � b1
 a21x1 	 a22x2 	 · · · 	 a2nxn � b2 
 .
 .
 .
 am1x1 	 am2x2 	 · · · 	 amnxn � bm
y
 c11x1 	 c12x2 	 · · · 	 c1nxn � d1
 c21x1 	 c22x2 	 · · · 	 c2nxn � d2 
 .
 .
 .
cm1x1 	 cm2x2 	 · · · 	 cmnxn � dm
se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Teorema 1.3.1. Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro por medio de ope-
raciones elementales, entonces los sistemas son equivalentes.
Demostración. La demostración que haremos supone que se aplica una sola operación 
elemental, pues el caso general se obtiene de éste aplicando sucesivamente el mismo 
argumento. Sea:
 a11x1 	 a12x2 	 · · · 	 a1nxn � b1
 a21x1 	 a22x2 	 · · · 	 a2nxn � b2 
 .
 .
 .
 am1x1 	 am2x2 	 · · · 	 amnxn � bm
un sistema de ecuaciones. Es claro que si en este sistema se intercambian dos ecua-
ciones, o una ecuación se multiplica por un real no cero, el nuevo sistema tiene las 
mismas soluciones que el original. Resta demostrar que las soluciones no cambian 
cuando el nuevo sistema se obtiene del original, multiplicando una ecuación por un 
real y sumándola a otra. Supongamos que la ecuación i se multiplica por a y se suma 
a la ecuación j, entonces la ecuación j en el nuevo sistema es:
 (aj1 	 aai1) x1 	 (aj2 	 aai2)x2 	 · · · 	 (ajn 	 aain)xn � bj 	 abi (1.22)
y todas las restantes son las mismas que las del original.
Si (c1, c2, …, cn) es solución del sistema original, entonces:
 aklcl 	 ak2c2 	 · · · 	 akncn � bk, para todo k � 1, 2, …, m (1.23)
en particular se cumplen las ecuaciones:
 ai1c1 	 ai2c2 	 · · · 	 aincn � bi (1.24)
y
 aj1c1 	 aj2c2 	 · · · 	 ajncn � bj (1.25)