VIBRA2 UNI 2021-I

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Profesor del curso: José Martín Casado Márquez 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA 
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA 
 
Unidad 3 
Vibraciones Amortiguadas 
 
Anteriormente consideramos que los sistemas vibratorios conservan su energía de 
vibración. En realidad, todas las vibraciones son afectadas por fuerzas disipativas, las 
cuales hacen que su amplitud disminuya. En el curso nos ocuparemos de las fuerzas 
de amortiguamiento viscoso, las cuales en forma experimental –y con muy buena 
aproximación– son proporcionales a la velocidad de la masa oscilante; es decir: 
 
 
 
siendo c el coeficiente de amortiguamiento del elemento disipador, expresado en N.s/m ó 
en kg/s. Conocer su valor es muy importante; de él se determinará si el sistema vibrará 
o no. 
 
En otras palabras, habrá un valor crítico de c con el cual el sistema podrá iniciar su 
vibración. Ello dependerá esencialmente de la viscosidad de la sustancia amortiguadora. 
Por ello, debe entenderse que el mejor amortiguador sería aquel que contenga grasa como 
sustancia amortiguadora. 
 
3.1. Modelo elemental de una vibración amortiguada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27. Sistema de amortiguamiento instalado
en una de las ruedas de un vehículo ferroviario.
Nótese cuán complejo es el sistema cuando mayor
es la carga a desplazar. 
Figura 28. Para amortiguar las vibra-
ciones de un vehículo de alta potencia 
se utilizan sistemas de amortiguamiento 
que absorban los impactos que se gene-
ran esencialmente en el arranque. 
Fig. 26. En otras circunstancias, el 
amortiguador puede sustituirse por 
una superficie rugosa. 
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Previo al estudio de las vibraciones amortiguadas, es indispensable que el estudiante 
conozca cómo se obtiene el valor del coeficiente de amortiguamiento c de un amortiguador, 
asumiendo que la sustancia viscosa mantiene constante su temperatura durante su 
operación. 
 
Para este fin debemos conocer los siguientes parámetros indispensables de trabajo del 
amortiguador (figura 29a): 
 
 = Viscosidad absoluta de la sustancia amortiguadora. 
D = Diámetro del pistón. 
L = Longitud del pistón. 
e = Huelgo (espacio libre) entre el pistón y el cilindro del amortiguador. 
 
Sea P la fuerza en el pistón cuando éste se desplaza a la velocidad es v0, tal que P = cv0. 
Si se asume que la sustancia amortiguadora es newtoniana, es decir, soporta un esfuerzo 
cortante según la Ley de Viscosidad de Newton, se cumple la relación: 
 
 
 
 
Figura 29a Figura 29b 
 
Luego de la demostración correspondiente (Rao, 2012, p. 47, edición en español), se 
obtiene: 
3
4
1
2
 
 
Es muy importante tener en cuenta el orden de los valores de  a temperatura ambiente 
usual (20°C). Como datos referenciales tenemos los siguientes: 
 
SUSTANCIA  (Pa.s a 20°C) 
Gasolina refinada 3.10-4 
Kerosene 2.10-3 
Petróleo refinado 8.10-3 
Aceite lubricante 0,80 
 
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En consecuencia, la viscosidad de las sustancias amortiguadoras debe estar en el orden 
mostrado, con excepción de los aceites, cuya viscosidad disminuye notablemente al 
aumentar la temperatura. 
 
3.2. Tipos de Vibraciones Amortiguadas 
 
3.2.1. Vibración sub-amortiguada.- 
Es aquella cuya amplitud dis-
minuye con el tiempo por 
acción de una fuerza amor-
tiguadora. 
 
3.2.2. Vibración críticamente amor-
tiguada.- Es la que se carac-
teriza porque el sistema vuelve 
a su posición inicial en el 
menor tiempo posible, pero 
sin vibrar. 
 
3.2.3. Vibración sobreamortiguada.- 
Es aquella que se caracteriza 
porque al pretender iniciar 
la vibración, el sistema vuelve 
a su posición inicial muy 
lentamente sin vibrar, o en 
el peor de los casos, queda totalmente estancado. 
 
3.3. Análisis del Movimiento 
 
 
 
Para determinar la ecuación diferencial (ED) del movimiento vibratorio (si existe), 
recurriremos al DCL de la fig. 31. El bloque es desplazado una distancia x en 
dirección positiva. Tanto la fuerza recuperadora del resorte (kx) como la fuerza de 
amortiguamiento (c ) se dirigen hacia la P.E. Al aplicar la 2da Ley de Newton se 
tiene: 
 
 (3.1) 
 
Este es el formato de ED que el estudiante debe obtener obligatoriamente para 
poder evaluar si hay vibración o no. 
 
La solución de esta ecuación es de la forma . Para resolverla, se hace la 
sustitución: . Luego, al reemplazar se obtiene: 
Fig. 30b. Vibración críticamente amortiguada 
Fig. 30c. Vibración sobreamortiguada 
Fig. 30a. Vibración sub-amortiguada 
Fig. 31. Diagrama de cuerpo libre (DCL) de un
cuerpo con vibración amortiguada. 
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0 
 
Resolviendo la ecuación entre paréntesis se obtiene las soluciones 1 y 2. 
 
; (*) 
 
Conforme a la definición dada en 3.2.2, el coeficiente de amortiguamiento crítico 
(ccr) se obtiene haciendo c = ccr. Luego, en el sub-radical de (*) se tiene: 
 
0  √ (3.2) 
 
Para determinar si el movimiento vibratorio es de la forma 3.2.1, 3.2.2 o 3.2.3, se 
define el factor de amortiguamiento (, se pronuncia “xi”) a la siguiente relación: 
 
 (3.3) 
 
El cual toma la siguiente gama de valores para determinar si existe vibración o no: 
 
a) Si 0 <   1  Movimiento sub-amortiguado. 
b) Si  = 1  Movimiento críticamente amortiguado. 
c) Si  > 1  Movimiento sobreamortiguado. 
 
Para determinar su magnitud en un sistema vibratorio real, se hará el siguiente 
artificio: 
 
/
/
/
√ /
  / (3.4) 
 
Siendo c/m y / los coeficientes obtenidos en la ED del sistema cuya vibración 
se supone que tiene lugar. 
 
En (*), si c > ccr, 1 y 2 serían positivos, y por lo tanto el sistema vibrante jamás 
volverá a su posición de equilibrio. En consecuencia, la única posibilidad que cabe 
es que c < ccr, observándose que las soluciones que se obtienen son complejas y 
conjugadas. Luego, para que (*) se pueda resolver con coeficientes reales, se le da 
la siguiente forma: 
; , donde: √ 1 
 
Cuya solución es de la forma: 
 
Llamando: , la solución de (*) es: 
 (**) 
 
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Fórmula de Moivre: 
 
Al sustituir en (**) y simplificar, se obtiene una solución de la forma: 
 
cos sin 
 
Que expresando en términos de una sola función trigonométrica, se tiene la 
solución para la ecuación de movimiento de una vibración sub-amortiguada: 
 
 (3.5) 
 
Los valores de A y  se determinan a partir de las condiciones iniciales del movi-
miento. En la figura 32 se aprecia que la gráfica de esta ecuación consiste en la 
curva cosenoidal cuyo pico va atenuándose, con la curva logarítmica tangente a 
ella. 
 
 
Velocidad de vibración.- Derivando la relación (3.5) se tiene: 
 
. sin
2
cos 
 
Factorizando y agrupando términos se tiene: 
 
cos
2
tan 
 
Finalmente, y con el objeto de facilitar el cálculo de la aceleración, se obtiene: 
 
 (3.6) 
Acos 
2 / 
2 / 
 
 
Figura 32. Gráfica de una vibración amortiguada. 
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Aceleración de vibración 
 
 (3.7) 
 
Sin embargo, la aceleración puede calcularse con facilidad luego que previamente 
se haya calculado la velocidad de vibración, despejándola de la ecuación (3.1). 
 
3.4. Comparación entre un MAS y una vibración amortiguada 
 
De 
2
2
, factorizamos , y se obtiene: 
 
1
/
/
  (3.8) 
 
Asimismo, del periodo determinado para el MAS, se infiere que el periodo para 
una vibración amortiguada será: 
 
  (3.9) 
 
3.5. Decremento logarítmico () 
 
Viene a ser el logaritmo natural de la relación de dos amplitudes consecutivas 
(las mismas que difieren en un periodo de vibración T. 
 
ln  
 
Deducción de : 
ln
cos
cos
 
 
Como la función coseno es periódica: cos cos . Así entonces, 
al simplificar la expresión anterior, queda: 
 
ln  (3.10) 
 
Si deseamos expresar  en términos de , empleamos la fórmula (3.9), y así 
tenemos: 
 
/
2
.
2
1
/
2
.
2
1
 
 
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Ordenando queda: (3.11) 
 
Y  en función de  resulta: (3.12) 
 
3.6. Pérdida de energía por ciclo de vibración (E): Caso de 
oscilaciones horizontales 
 
La energía se pierde sólo por la acción de las fuerzas disipativas. En nuestro caso, 
el amortiguador produce dicha pérdida. Se determinará una relación para conocer 
E, considerando que en el instante t de la primera vibración, el sistema alcanza 
su primera amplitud (A1), es decir, su energía es: 
 
1
2
 
 
Al transcurrir un periodo de vibración, la nueva energía del sistema será: 
 
  
 
Finalmente, la fracción de energía perdida (fperd) por ciclo de vibración es: 
 
| |
  (3.13) 
 
3.7. Vibraciones Críticamente Amortiguadas 
 
Según se vió en 3.3, al resolver la ED característica obtenemos una raíz doble , 
con 2√ , dando como solución: 
; 2
 
 
Así entonces, la solución de la ecuación (3.1) será de la forma: 
 
 (**) 
 
que aplicada a las siguientes condiciones iniciales: x(0) = x0; 0 , hacen que 
(**) sea expresada como: 
 
 (3.14) 
 
Si las condiciones iniciales son de signos opuestos, o si v0 = 0, la vibración se 
atenúa inmediatamente; pero si las condiciones iniciales son del mismo signo, o si 
x0 = 0, x irá creciendo hasta alcanzar su máximo valor cuando el sistema se detenga 
en el instante t obtenido cuando v = 0. Dicho instante es: 
 
 (3.15) 
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Y así, xmáx resulta: 
 
á (3.15) 
 
A continuación se muestra las gráficas de la vibración de un sistema con 
amortiguamiento crítico, en el que se plantea una sola deformación inicial, pero 
tres velocidades distintas de lanzamiento. 
 
 
 
Fig. 38. Curva de movimiento de una vibración críticamente amortiguada 
 
Comentario: En dos oscilaciones se puede hallar el máximo alcance del movimiento, 
lo cual no sucede cuando la velocidad de lanzamiento es muy alta. 
 
3.8. Vibraciones Sobreamortiguadas 
 
Cuando  > 1, la ED característica (3.1) tiene dos raíces reales; es decir: 
 
, 1 (***) 
 
Dando lugar a que la ecuación de movimiento sea: 
 
 
 
Considerando como condiciones iniciales x0 y v0 en t = 0, x(t) resulta: 
 
2 1
1 1 
 
 
 
Cuyo máximo valor tiene lugar en el siguiente instante: 
 
 
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A continuación se muestra la gráfica de la vibración de un sistema sobreamortiguado, 
en el que se plantea una sola deformación inicial, pero dos velocidades distintas 
de lanzamiento, en el que se nota que es posible hallar las posiciones más alejadas. 
 
 
 
Fig. 39. Curva de movimiento de una vibración sobreamortiguada 
 
 
 
Lima, abril del 2021 
 
 
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