Ejercicios de Vibración Forzada Armónica Simple

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TAREA 2. PROBLEMA1 
 
 
 
PROBLEMA 3. 
 
 
Mesa 
Rotatoria
a 
Eje de 
Perforación 
Torre de 
Perforación 
Kt 
Mo 
MC-2415 Vibraciones Mecánicas (enero-marzo 2015) 
Primer Parcial (40%) 
PROBLEMA 1 
 
Se desea determinar el valor del desbalance máximo (moe) que puede presentar el turborreactor de un avión (ver figura) 
de forma tal que la deflexión máxima del punto del ala donde está ubicado el turborreactor, respecto al cuerpo del avión, 
sea menor que un valor dmax, para un rango de velocidades de giro del turborreactor entre 3000 RPM y 6000 RPM. Para 
ello, como una primera aproximación se puede suponer que: 
a- El ala se comporta como una viga empotrada al cuerpo del avión, de módulo de elasticidad E. 
b- La sección transversal del ala es sólida y rectangular de base b y espesor t y esta sección es constante en toda su 
longitud ( I = b t3 / 12 ). 
c- La masa del ala se puede despreciar. 
d- Los efectos disipativos producen un factor de amortiguación de 5% (ζ=0.05) 
 
 
 
Calcule: 
- El valor del desbalance máximo que se puede tolerar en el turbo reactor. 
- La fuerza transmitida que se produciría en la base del ala cuando se tiene el desbalance máximo y el turborreactor gira 
a 5000 RPM 
- Si se toma en cuenta la masa del ala en el modelo, según su criterio, como se comporta el sistema respecto al calculado 
anteriormente? 
 
Datos: E = 70 GPa, M = 100 kg, L = 8 m, t = 0.5 m, b = 1.5 m, dmax = 0.05m 
 
PROBLEMA 2 
La figura ilustra una torre petrolera de perforación. 
Durante el proceso de perforación de un pozo, la broca 
en la parte inferior se traba por acción de unas piedras, y 
por lo tanto se detiene quedando el extremo inferior del 
eje del taladro detenido. En esas condiciones, se aplica 
un momento constante Mo = 11.25 N-m a la mesa 
rotatoria y ésta logra rotar 15°. Al eliminar dicho 
momento, la mesa comienza a rotar desde esa condición 
y sin velocidad, en sentido contrario hasta alcanzar una 
giro máximo (en el otro sentido) de -2.75°. Este 
movimiento lo realiza en el lapso de 1 seg. 
Si el sistema se puede modelar como un disco solidario a 
un eje sometido a torsión, como la figura ilustrativa de la 
derecha. Determinar: 
- El factor de amortiguación equivalente del sistema, 
- La frecuencia natural, 
- La constante de rigidez torsional del eje, 
- Momento de inercia de masa equivalente del disco y 
- El diámetro del eje del taladro de perforación. 
 
Recuerde que para un eje, la rigidez de torsión es Kt = G J/L, donde J = πd4/32. 
Datos: G =80 GPa, L=2Km. 
L 
Turborreactor 
(masa M) 
EI 
L f s 
s 3 
3 
= δ 
s f 
L 
3 
3
L 
EI 
k eq = 
Viga empotrada-libre - 
 
TAREA 3 
PROBLEMAS 1 
La fuerza de desequilibrio generada por una máquina 
alternativa puede ser estimada como un vector vertical de 
magnitud: F(t) = Mbω2 cos(ωt) 
tal como sugiere la figura. Se conoce la masa total de la 
máquina es m= 40 kg, la constante de rigidez K= 1,8*106 
N/m, y el desbalanceo Mb=0,1 kg. m 
Para la instalación de la máquina se disponen de dos tipos de 
amortiguadores: 
Tipo A con ζA = 0,1 , Tipo B con ζB = 0,2 
 
 
 
 
 
 
Si la máquina puede adoptar, en estado estacionario, cualquier velocidad de operación comprendida entre 5.700 rpm y 
9.000 rpm, determine: 
a) ¿Qué tipo de unión seleccionaría para transmitir la menor fuerza a la fundación?. Justifique con claridad su 
respuesta. 
b) ¿Cuál es el valor de la fuerza transmitida mínima? 
c) ¿Considera usted que esta unión garantiza también la menor amplitud de vibración del equipo?. Una vez más, 
evalúela y justifique con claridad su respuesta. 
 
PROBLEMA 2 
En la figura se muestra un perfil en forma de L, de alas idénticas, que se mantiene en equilibrio en la posición mostrada 
(AC horizontal y CD vertical), por acción del resorte BF de constante k. La masa del perfil es m y su momento de inercia 
con respecto al extremo A es conocido: IA = 4 m b
2
 
Una vez que el perfil ha alcanzado su posición de equilibrio estático, se coloca un segundo resorte vertical, idéntico al 
primero (su extremo superior articulado al perfil y el inferior colgando libremente). En un cierto instante de le aplica al 
extremo libre del resorte E del resorte un desplazamiento 
vertical armónico z, medido con respecto a tierra, que 
obedece la ley z = Zo cos(ω t) 
(Zo y ωωωω son cantidades conocidas) 
Suponiendo que bajo esta excitación el perfil describe 
oscilaciones pequeňas escriba la ecuación diferencial que 
rige el movimiento subsecuente del sistema. 
Observe que en del extremo C emerge una extensión 
pequeña, la cual debe desplazarse entre topes 
equidistantes, con un juego j conocido. 
Determine los parámetros de la excitación z de manera 
de impedir que se produzca contacto físico entre topes y 
barra 
 
f(t)= Mbω2 cos(ωt) m 
c K 
z = Zo cos(ω t) 
B 
k k 
b b 
A C 
D 
E 
z 
F 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 
(27/05/2009) 
 
NOMBRE:_______________________________________________________ CARNET:____________________
 
PREGUNTA 1: (16pts) 
El inicio de un sistema de tuberías se puede simular como una barra de masa Mb=100kg y longitud L=2m articulada en un 
extremo como en la figura mostrada (dibujo en posición de equilibrio estático). Se debe colocar una bomba de masa total 
Mm=10kg en el extremo inicial de la tubería. Se sabe que la bomba tiene un desbalance cmkgem ⋅=⋅ 1 , que puede 
trabajar para [ ]rpm500;100∈Ω y que su masa se puede concentrar en el extremo de la tubería. También se conoce que el 
resorte de rigidez “k” está estirado 5cm en equilibrio estático y el de “2k” está comprimido 5cm, y que en respuesta libre, 
las amplitudes decaen 30% en un ciclo. 
 
a) Deduzca la ecuación diferencial (en letras) que describe 
la vibración del sistema, sabiendo que las amplitudes 
son tales que el ángulo de la tubería no supera los 15°. 
b) Escriba la respuesta de vibración en régimen 
permanente. (en letras) 
c) Dibuje cualitativamente el espectro de frecuencias de la 
respuesta permanente. 
d) Hallar las constantes “k” y “C”. 
 
 
PREGUNTA 2: (21pts) 
Se desea estudiar el comportamiento dinámico de un edificio de 10 pisos recién construido para verificar que podrá resistir 
temblores de cierta magnitud y frecuencia. Como primera aproximación se modela el edificio como un sistema de 1GDL 
(una barra flexible de masa despreciable y una masa equivalente M=1500ton en el extremo de la barra flexible). Utilizando 
un acelerómetro colocado en el último piso y generando deflexión inicial (horizontal), se logró graficar la respuesta libre 
mostrada. Se pide: 
 
a) Dibujar un modelo mecánico y escribir (o deducir) la ecuación diferencial (en letras) que describe el 
comportamiento del sistema (en coordenadas absolutas) sabiendo que )cos()( 0 tZtz ⋅Ω⋅= . 
b) Escriba la respuesta (en letras) en coordenadas absolutas y para todo “t” del sistema considerando condiciones 
iniciales nulas y la excitación z(t). 
c) Encontrar el valor de la frecuencia natural, factor de amortiguación y constante de amortiguación (lo más exacto 
posible y usando tres cifras significativas). 
d) Si se sabe que la frecuencia de los temblores puede estar en ( )Hz5;1.0∈Ω , que la amplitud máxima (cero-pico) 
de un temblor podría ser Z0=4cm, determine si el edificio resistirá un temblor, sabiendo además que la amplitud 
absoluta (cero-pico) que puede soportar en el piso más alto es de 30cm. Independientemente de su respuesta 
anterior y basado en el modelo aquí desarrollado qué característica del edificio intentaría modificar Ud. para 
disminuir las amplitudes de la vibración? 
 
Ω 
Bomba 
Tubería articulada 
C 
k 
2k 
L/2 L/2 
M 
z(t) 
0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
[c
m
]
.
 
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA (20/10/2008) 
 
NOMBRE:_______________________________________________________CARNET:____________________
PREGU�TA 1: 
 
El motor de una máquina está apoyado en el medio de una viga (de masa despreciable) articulada en sus 
extremos. La masa total del motor con todas las piezas acopladas a él es de 20kg. Al colocar el conjunto motor 
sobre la viga, se registra una deflexión estática vertical de 2mm. La pieza acoplada al eje del motor presenta un 
desbalance de 0.5kg con una excentricidad de 8cm. La máquina permite que el motor pueda trabajar en cualquier 
velocidad entre 400rpm y 1200rpm. Para la primera prueba del equipo se decidió realizar un barrido de 
velocidades del motor. Este barrido se hizo lentamente para poder despreciar los efectos transitorios de la 
respuesta del sistema. Se pudo registrar que para 735rpm, el sistema alcanzó amplitudes máximas (críticas) de 
vibración. En base a esto, responda lo siguiente: 
a) Escriba la ecuación diferencial que describe la vibración vertical del motor. (En letras) 
b) Escriba la respuesta de vibración del sistema en régimen permanente. (En letras) 
c) ¿Cuál es el valor de la constante de amortiguación “C” del sistema? 
d) ¿A qué velocidad debe girar el motor (dentro del rango admisible por la máquina) para que se registren 
las mínimas amplitudes de vibración? ¿Cuál es el valor de la amplitud de vibración en este caso? 
e) ¿A qué velocidad debe girar el motor (dentro del rango admisible por la máquina) para transmitir la 
mínima fuerza vertical a la fundación? ¿Cuál es el valor de la amplitud de la fuerza transmitida en este 
caso? 
 
 
PREGU�TA 2: 
 
Se tiene una Barra a-b Rígida de masa M unida a una pared por medio de una articulación plana, el extremo 
libre de la barra está unido a tierra a través de un resorte de constante K, adicionalmente el sistema posee un 
amortiguador de constante C ubicado a L/2 del extremo libre. El conjunto es excitado por medio de una Fuerza 
Permanente de origen armónico ubicada en la mitad de la barra. La figura muestra al sistema en su posición de 
equilibrio estable, también se presenta una Respuesta Libre del Extremo de la Barra ante condiciones iniciales 
(excitador apagado). Se desea: 
 
a) Encontrar la Ecuación Diferencial que describe el comportamiento del sistema. 
b) Encontrar el valor de la frecuencia natural y factor de amortiguación. 
c) Encontrar el valor de “Fo” máximo para que el extremo de la barra no choque con el tope. 
 
Ω 
Motor 
Viga articulada 
C 
Datos: 
h = 30mm 
Ω = 15 rad/seg 
M = 3kg 
g = 10m/s2 
 
M C K 
L/2 L/2 
h 
f(t)= Fo.Sin(Ω.t) 
a b 
0 1 2 3 4
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
Tiempo [seg]
D
es
pl
az
am
ei
nt
o 
[m
m
]
.
0 0.5 1 1.5 2
0
1
2
3
4
zeda 0.1
Excitaciones por Desbalance
Relacion de frecuencias
F
ac
to
r 
de
 A
m
pl
if
ic
ac
io
n
.
0 0.5 1 1.5 2
0
1
2
3
4
Excitaciones por Desbalance
Relacion de frecuencias
T
ra
ns
m
is
ib
il
id
ad
.
zeda 0.1
zeda 0.3
zeda 0.6
zeda 0.9
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