CALCULO (62)

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
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DESARROLLO 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
Encuentra dos números positivos cuya suma sea 60, de forma tal que el producto 
del primero por el cuadrado del segundo sea máximo. 
 
VARIABLES 
𝑥 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 
𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 
 
FUNCIÓN 
𝑃 = 𝑥𝑦2 
𝑥 + 𝑦 = 60 
𝑦 = 60 − 𝑥 
𝑃 = 𝑥(60 − 𝑥)2 
𝑷 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙 
 
DOMINIO 
𝑫𝑷 = (𝟎, 𝟔𝟎) 
NÚMEROS CRÍTICOS 
𝑃′ = 3𝑥2 − 240𝑥 + 3600 
𝑃′ = 3(𝑥2 − 80𝑥 + 1200) 
𝑃′ = 3(𝑥 − 20)(𝑥 − 60) 
3(𝑥 − 20)(𝑥 − 60) = 0 
𝒙 = 𝟐𝟎 
𝑥 = 60 (se descarta) 
 
VALORES EXTREMOS 
𝒙 𝑷 𝑷’ Conclusión 
𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎 + P crece 
𝒙 = 𝟐𝟎 32,000 0 Máximo 
𝟐𝟎 < 𝒙 < 𝟔𝟎 - P decrece 
Como en 𝑥 = 20 se tiene un valor 
máximo, y es único en el intervalo de su 
dominio (0, 60), en 𝒙 = 𝟐𝟎 se tiene un 
valor máximo absoluto 𝑷 = 𝟑𝟐, 𝟎𝟎𝟎. 
RESPUESTA 
𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 = 𝟐𝟎 
𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 = 𝟒𝟎 
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟑𝟐, 𝟎𝟎𝟎