PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-36

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5.4.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA 
 
Definición: Media y Varianza para la Distribución Binomial Negativa 
 
 Media: µ = E[X] = 
p
k , Varianza: σ2 = V[X] = )( 1
p
1
p
k
− 
 
 
5.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 
Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer 
la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer 
“éxito” 
 
Definición: Distribución Geométrica 
 
 Sean X: Variable aleatoria discreta con Distribución Geométrica 
 (cantidad de ensayos realizados hasta obtener el primer ‘éxito’) 
 x = 1, 2, 3, ... (valores factibles para la variable X) 
 p: probabilidad constante de "éxito" en cada ensayo 
 
 Entonces la distribución de probabilidad de X es: 
 
 P(X=x) = f(x) = p(1-p)x-1 , x = 1, 2, 3, ... 
 
Demostración 
Se obtiene directamente haciendo k=1 en el modelo de la distribución binomial negativa. 
 
 
5.5.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 
 
Definición: Media y Varianza para la Distribución Geométrica 
 
 Media: µ = E[X] = 
p
1 , Varianza: σ2 = V[X] = )( 1
p
1
p
1
− 
 
 
 
Ejemplo. 
Calcule la probabilidad que en el quinto lanzamiento de tres monedas se obtengan tres sellos 
por primera vez. 
 
Respuesta: 
En el experimento de lanzar tres monedas hay 8 resultados posibles. 
En cada ensayo la probabilidad que salgan tres sellos es constante e igual a 1/8 y la 
probabilidad que no salgan tres sellos es 7/8. 
 
Estos ensayos son independientes, y por la pregunta concluimos que la variable de interés X 
tiene distribución geométrica con p=1/8, 
 
Sea X: Cantidad de ensayos hasta obtener el primer “éxito” (variable aleatoria discreta) 
 x = 1, 2, 3, . . . 
 P(X=x) = f(x) = (1/8)(7/8)x-1 , x=1, 2, 3, ... 
Por lo tanto 
 P(X=5) = f(5) = (1/8)(7/8)5-1 = 0.0733 
 
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5.6 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 
Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una 
muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados 
“éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”. 
 
Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin 
devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados 
independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por 
el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población 
está cambiando. 
 
Definición: Distribución Hipergeométrica 
 
Sean N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra 
 K: Cantidad de elementos existentes que se consideran “éxitos” 
 n: Tamaño de la muestra 
X: Variable aleatoria discreta (es la cantidad de resultados considerados “éxitos” 
 que se obtienen en la muestra) 
 x = 0, 1, 2, ..., n (son los valores que puede tomar X) 
 
Entonces, la distribución de probabilidad de X es 
 f(x) = n210x 
n
N
xn
KN
x
K
,...,,,, =












−
−






 
 
Demostración 
 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con referencia al gráfico: 






x
K
 es la cantidad total de formas de tomar x “éxitos” en la muestra de los K existentes 






−
−
xn
KN
 es la cantidad total de formas de tomar n – x “fracasos” de los N – K existentes. 






x
K






−
−
xn
KN
 es la cantidad total de formas de tomar x “éxitos” y n–x “fracasos” en la muestra 






n
N
.cantidad total de formas de tomar la muestra de n elementos del conjunto de N elementos 
 
Finalmente, mediante la asignación clásica de probabilidad a eventos obtenemos la fórmula 
para la distribución hipergeométrica. Esto completa la demostración 
 
K N – K 
x n – x 
n 
Total de 
“éxitos” 
Total de “fracasos” 
Muestra 
“éxitos” en 
la muestra 
“fracasos” en la muestra 
Conjunto 
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Se observa que x no puede exceder a K. La cantidad de “éxitos” que se obtienen en la 
muestra no puede exceder a la cantidad de “éxitos” disponibles en el conjunto. Igualmente, 
la cantidad de n - x “fracasos” no puede exceder a los N - K disponibles. 
 
Ejemplo. Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes 
defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que 
en la muestra se obtengan, 
a) Ninguna batería en buen estado 
b) Al menos una batería en buen estado 
c) No mas de dos baterías en buen estado 
 
Respuesta. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un 
experimento hipergeométrico con 
 N=9 (Total de elementos del conjunto) 
 K=4 (Total de elementos considerados ‘éxitos’) 
 n=3 (Tamaño de la muestra) 
X: Cantidad de baterías en buen estado en la muestra 
(Variable aleatoria discreta) 
Entonces la distribución de probabilidad de X es: 
f(x) = 
K N K
x n x
N
n
−  
   −  
 
 
 
 = 
4 9 4
x 3 x
, x 0,1,2,3
9
3
−  
   −   =
 
 
 
 
a) P(X=0) = f(0) = 
4 9 4
0 3 0
9
3
−  
   −  
 
 
 
 = 0.119 
b) P(X≥1) = 1 – P(X<1) = 1 – f(0) = 1 - 0.119 = 0.881 
c) P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = f(0) + f(1) + f(2) 
 = 
4 9 4
0 3 0
9
3
−  
   −  
 
 
 
+
4 9 4
1 3 1
9
3
−  
   −  
 
 
 
+
4 9 4
2 3 2
9
3
−  
   −  
 
 
 
 = 0.119 + 0.4762 + 0.3571 = 0.9523 
 
También se puede calcular c) considerando que 
 P(X≤2) = 1 – P(X>2) = 1 – f(3) 
 
 
5.6.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 
 
Definición: Media y Varianza para la Distribución Hipergeométrica 
 
 Media: µ = E[X] = 
N
Kn , Varianza: σ2 = V[X] = ))((
1N
nN
N
K1
N
nK
−
−
− 
 
Las demostraciones se las puede encontrar en textos de Estadística Matemática. En el 
desarrollo se usa la definición de valor esperado y las propiedades de las sumatorias. 
 
Ejemplo. Calcule la media y la varianza para el ejemplo anterior 
 
Respuesta: 
 µ = 3(4/9) = 1.333 (es la cantidad promedio de baterías en buen estado 
 que se obtienen al tomar muestras) 
 σ2 = 3(4) 4 9 3(1 )( )
9 9 9 1
−
−
−
 = 0.555 
	5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
	5.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
	5.4.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
	5.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
	5.5.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
	5.6 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
	5.6.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA