introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-116

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322 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
a. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la 
diferencia en las medias poblacionales. ¿Qué significa 
la frase “90% seguro”?
b. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la 
diferencia en las medias poblacionales. ¿Se puede 
concluir que hay una diferencia en las dos medias 
poblacionales? Explique.
APLICACIONES
8.41 Selenio Una pequeña cantidad del oligoelemento 
selenio, 50-200 microgramos (mg) por día, se considera 
esencial para una buena salud. Suponga que muestras 
aleatorias de n1 � n2 � 30 adultos se seleccionaron de 
dos regiones de Estados Unidos y que la ingesta diaria 
de selenio, de líquidos y sólidos, se registró para cada 
persona. La media y desviación estándar de las ingestas 
diarias de selenio para los 30 adultos de la región 1 
fueron 
_
 x 1 � 167.1 y s1 � 24.3 mg, respectivamente. 
Las estadísticas correspondientes para los 30 adultos 
de la región 2 fueron 
_
 x 2 � 140.9 y s2 � 17.6. Encuentre 
un intervalo de confi anza de 95% para la diferencia en 
las ingestas medias de selenio para las dos regiones. 
Interprete este intervalo.
8.41 9-1-1 Se realizó un estudio para comparar los 
números medios de llamadas de emergencia a la policía 
por turno de 8 horas en dos distritos de una gran ciudad. 
Muestras de 100 turnos de 8 horas se seleccionaron al 
azar de entre los registros policiales para cada una de las 
dos regiones y el número de llamadas de emergencia se 
registró para cada turno. Las estadísticas muestrales 
se indican a continuación:
 Región
 1 2
Tamaño muestral 100 100
Media muestral 2.4 3.1
Varianza muestral 1.44 2.64
Encuentre un intervalo de confi anza de 90% para la 
diferencia en los números medios de llamadas de 
emergencia a la policía por turno entre los dos distritos 
de la ciudad. Interprete el intervalo.
8.43 Enseñando biología Al desarrollar un estándar 
para evaluar la enseñanza de ciencias preuniversitarias en 
Estados Unidos, se realizó un experimento para evaluar 
un currículum desarrollado por un maestro, “Biología: un 
contexto comunitario” (BACC, por sus siglas en inglés) 
basado en estándares, orientado en actividades y centrado 
en preguntas. Este método fue comparado con la 
presentación histórica por medio de lectura, vocabulario 
y datos aprendidos de memoria. Los estudiantes fueron 
examinados en conceptos de biología que destacaban 
conocimientos biológicos y conocimientos de proceso 
en el sentido tradicional. Los resultados quizá no tan 
sorprendentes de un examen sobre conceptos de biología, 
publicados en The American Biology Teacher, se 
muestran en la tabla siguiente.11
 Tamaño Desviación
 Media muestral estándar
Examen previo: 
Todos los grupos de BACC 13.38 372 5.59
Examen previo: 
Todos los tradicionales 14.06 368 5.45
Después del examen: 
Todos los grupos de BACC 18.5 365 8.03
Después del examen: 
Todos los tradicionales 16.5 298 6.96
a. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la 
calificación media para el examen previo para todos 
los grupos de BACC.
b. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la 
calificación media del examen previo para todos los 
grupos tradicionales.
c. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la 
diferencia en calificaciones medias para los grupos 
BACC después del examen y los grupos tradicionales 
después del examen.
d. ¿El intervalo de confianza en c) da evidencia de que 
hay una diferencia real en las calificaciones de grupo 
tradicional y BACC después del examen? Explique.
Fuente: De “Performance Assessment of a Standards-Based High School Biology Curri-
culum”, por W. Leonard, B. Speziale y J. Pernick en The American Biology Teacher, 2001, 
63(5), 310-316. Reimpreso con permiso de National Association of Biology Teachers.
8.44 ¿Está usted a dieta? Se realizó un experimento 
para comparar las dietas A y B diseñadas para bajar de 
peso. Se seleccionaron al azar dos grupos de 30 personas 
con sobrepeso de cada grupo. Uno de los grupos fue 
puesto a la dieta A y el otro a la B y se registraron sus 
bajas de peso en un periodo de 30 días. Las medias y 
desviaciones estándar de las mediciones de baja de peso 
para los dos grupos se muestran en la tabla. Encuentre 
un intervalo de confi anza de 95% para la diferencia en 
reducción media de peso para las dos dietas. Interprete su 
intervalo de confi anza.
Dieta A Dieta B
x�A � 21.3 x�B � 13.4
sA � 2.6 sB � 1.9
8.45 Salarios iniciales Los graduados universitarios 
están obteniendo más de sus títulos al aumentar los salarios 
iniciales. Para comparar los salarios iniciales de graduados 
universitarios que se especializan en ingeniería química 
y ciencias computacionales, se seleccionaron muestras 
aleatorias de 50 graduados universitarios recientes en cada 
especialización y se obtuvo la siguiente información.
Especialización Media SD
Ingeniería química $53 659 2225
Ciencias computacionales 51 042 2375
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a. Encuentre una estimación puntual para la diferencia 
en salarios iniciales de estudiantes universitarios 
que se especializan en ingeniería química y ciencias 
computacionales. ¿Cuál es el margen de error en la 
estimación de usted?
b. Con base en los resultados del inciso a), ¿piensa 
usted que hay una diferencia importante en salarios 
iniciales para ingenieros químicos y de ciencias 
computacionales? Explique.
8.46 Conocimientos de biología Consulte el 
ejercicio 8.43. Además de exámenes que comprenden 
conceptos de biología, los estudiantes también fueron 
examinados en conocimientos de procesos. Los 
resultados de exámenes previos y califi caciones después 
del examen, publicados en The American Biology 
Teacher, se dan a continuación.11
 Tamaño Desviación
 Media muestral estándar
Examen previo: 
Todos los grupos BACC 10.52 395 4.79
Examen previo: 
Todos los tradicionales 11.97 379 5.39
Después de examen: 
Todos los grupos BACC 14.06 376 5.65
Después de examen: 
Todos los tradicionales 12.96 308 5.93
a. Encuentre un intervalo de confianza del 95% de la 
puntuación media en habilidades del proceso para 
después del examen para todos los grupos BACC.
b. Encuentre un intervalo de confianza del 95% de la 
puntuación media en habilidades del proceso para 
después del examen para todos los grupos tradicionales. 
c. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la 
diferencia en las puntuaciones medias en habilidades 
del proceso para después del examen para los grupos 
BACC y los tradicionales.
d. ¿El intervalo de confianza de c) proporciona 
evidencia de que hay una diferencia real en las 
puntuaciones medias de las habilidades del proceso 
después del examen entre los grupos BACC y los 
tradicionales? Explique.
Fuente: De “Performance Assessment of a Standards-Based High School Biology Curri-
culum”, por W. Leonard, B. Speziale y J. Pernick en The American Biology Teacher, 2001, 
63(5), 310-316. Reimpreso con permiso de National Association of Biology Teachers.
8.47 Costos de hoteles Consulte el ejercicio 8.18. 
Las medias y desviaciones estándar para 50 facturaciones 
de cada una de las bases de datos de cada una de las tres 
cadenas de hoteles se dan en la tabla:4
 Marriott Radisson Wyndham
Promedio muestral $170 $145 $160
Desviación muestral estándar 17.5 10 16.5
a. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la 
diferencia en el promedio de tarifas de cuartos para 
las cadenas hoteleras Marriott y Wyndham.
b. Encuentre un intervalo de 99% de confianza para la 
diferencia en el promedio de tarifas de cuartos para las 
cadenas hoteleras Radisson y Wyndham.
c. ¿Los intervalos de los incisos a) y b) contienen el 
valor (m1 � m2) � 0? ¿Por qué es esto de interés para 
el investigador?
d. ¿Los datos indican una diferencia en el promedio de 
tarifas de cuartos de hotel entre las cadenas Marriott 
y la Wyndham? ¿Entre las cadenas Radisson y la 
Wyndham?
8.48 Ruido y estrésPara comparar el efecto del estrés 
en la forma de ruido sobre la capacidad de realizar un 
trabajo sencillo, 70 personas fueron divididas en dos 
grupos. El primer grupo de 30 personas actuó como 
control, en tanto que el segundo grupo de 40 fueron el 
grupo experimental. Aun cuando cada persona realizó 
el trabajo en el mismo cuarto de control, cada una de 
las personas del grupo experimental tuvo que realizar 
el trabajo cuando se reproducía música de rock a alto 
volumen. El tiempo para terminar el trabajo se registró 
para cada individuo y se obtuvo el siguiente resumen:
 Control Experimental
n 30 40
x� 15 minutos 23 minutos
s 4 minutos 10 minutos
a. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la 
diferencia en tiempos medios de terminación para 
estos dos grupos.
b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿hay suficiente evidencia para indicar una diferencia 
en el tiempo promedio de terminación para los dos 
grupos? Explique.
8.49 ¿Qué es normal?, continúa De las 130 personas 
del ejercicio 8.37, 65 eran mujeres y 65 eran hombres.9 
Las medias y desviación estándar de sus temperaturas se 
muestran a continuación.
 Hombres Mujeres
Media muestral 98.11 98.39
Desviación estándar 0.70 0.74
Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia en el promedio de temperaturas corporales 
para hombres contra mujeres. Con base en este intervalo, 
¿se puede concluir que hay una diferencia en el 
promedio de temperaturas para hombres contra mujeres? 
Explique.
 8.6 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES ❍ 323
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324 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
8.7
ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE 
DOS PROPORCIONES BINOMIALES
Una simple extensión de la estimación de una proporción binomial p es la estimación de 
la diferencia entre dos proporciones binomiales. Se pueden hacer comparaciones como 
éstas:
• La proporción de artículos defectuosos manufacturados en dos líneas de produc-
ción
• La proporción de votantes mujeres y la proporción de votantes hombres que están 
a favor de una enmienda de iguales derechos
• Los porcentajes de germinación de semillas no tratadas y semillas tratadas con un 
fungicida
Estas comparaciones pueden hacerse con la diferencia (p1 � p2) entre dos proporciones 
binomiales, p1 y p2. Muestras aleatorias independientes formadas por n1 y n2 intentos se 
sacan de poblaciones 1 y 2, respectivamente, y se calculan las estimaciones muestrales 
p̂1 y p̂2. El estimador insesgado de la diferencia (p1 � p2) es la diferencia muestral 
( p̂1 � p̂2).
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 
DE LA DIFERENCIA (p̂1 � p̂2) ENTRE DOS 
PROPORCIONES MUESTRALES
Suponga que las muestras aleatorias independientes de las observaciones n1 y n2 han 
sido seleccionadas de poblaciones binomiales con parámetros p1 y p2, respectiva-
mente. La distribución muestral de la diferencia entre proporciones muestrales
( p̂1 � p̂2) � �n
x1
1
 � n
x2
2
 �
tiene estas propiedades:
1. La media de ( p̂1 � p̂2) es
p1 � p2
y el error estándar es
SE � �
__________
 
p1q1 ____ n1 � 
p2q2 ____ n2 
que se estima como 
SE � �
_________
 
p̂1q̂1 ____ n1 � 
p̂2q̂2 ____ n2
 
2. La distribución muestral de ( p̂1 � p̂2) puede ser aproximada por una distribución 
normal cuando n1 y n2 son grandes, debido al teorema del límite central.
Aun cuando el margen de una proporción individual es de 0 a 1, la diferencia entre 
dos proporciones va de �1 a 1. Para usar una distribución normal para aproximar la 
distribución de ( p̂1 � p̂2), tanto p̂1 como p̂2 deben ser aproximadamente normales; esto 
es, n1p̂1 	 5, n1q̂1 	 5 y n2 p̂2 	 5, n2q̂2 	 5.
Las fórmulas apropiadas para estimación puntual y de intervalo se dan a conti-
nuación.
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.7 Estimación de la diferencia entre dos proporciones binomiales