introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-27

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Recuerde que las muestras son mediciones tomadas de una población más grande que 
en general es desconocida. Un uso importante de la media muestral 
_
 x es un estimador de 
la media poblacional desconocida m. Los datos de peso al nacer en la tabla 1.9 son una 
muestra de una población más grande de peso al nacer y la distribución se muestra en la 
figura 2.1. La media de los 30 pesos al nacer es
 
_
 x � 
8xi ___ 
30
 � �
22
3
7
0
.2
� � 7.57
ilustrada en la figura 2.1; marca el punto de equilibrio de la distribución. La media de 
toda la población de pesos de recién nacidos es desconocida, pero si usted tuviera que 
calcular su valor, su mejor estimación sería 7.57. Aun cuando cambia la media muestral 
_
 x de una muestra a otra, la media poblacional m sigue igual.
Una segunda medida de tendencia central es la mediana, que es el valor de la posi-
ción media en el conjunto de mediciones ordenada de menor a mayor.
Defi nición La mediana m de un conjunto de n mediciones es el valor de x que cae 
en la posición media cuando las mediciones son ordenadas de menor a mayor.
Encuentre la mediana para el conjunto de mediciones 2, 9, 11, 5, 6.
Solución Ordene las n � 5 mediciones de menor a mayor:
2 5 6 9 11
 �
La observación de enmedio, marcada con una fl echa, es el centro del conjunto o sea 
m � 6.
Encuentre la mediana para el conjunto de mediciones 2, 9, 11, 5, 6, 27.
Solución Ordene las mediciones de menor a mayor:
2 5 6 9 11 27
 �
Ahora hay dos observaciones “de enmedio”, vistas en la caja. Para hallar la mediana, 
escoja un valor a la mitad entre las dos observaciones de enmedio:
m � 6 
 9 _____ 
2
 � 7.5
El valor .5(n � 1) indica la posición de la mediana del conjunto ordenado de datos. 
Si la posición de la media es un número que termina en el valor .5, usted necesita pro-
mediar los dos valores adyacentes.
Para las n � 5 mediciones ordenadas del ejemplo 2.2, la posición de la mediana es 
.5(n 
 1) � .5(6) � 3 y la mediana es la tercera observación ordenada, o m � 6. Para 
las n � 6 mediciones ordenadas del ejemplo 2.3, la posición de la mediana es .5(n 
 1) 
� .5(7) � 3.5 y la mediana es el promedio de las 3ª y 4ª observaciones ordenadas, o m 
� (6 
 9)/2 � 7.5.
Media � punto de equilibrio 
o fulcro.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 2.2
E J E M P L O 2.3
Casi 50% de las mediciones 
son más pequeñas, 50% son 
más grandes que la mediana.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 2.4
 2.2 MEDIDAS DE CENTRO ❍ 55
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 55Probabilidad_Mendenhall_02.indd 55 5/14/10 8:15:56 AM5/14/10 8:15:56 AM
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56 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Aunque tanto la media como la mediana son buenas medidas del centro de una dis-
tribución, la mediana es menos sensible a valores extremos o resultados atípicos. Por 
ejemplo, el valor x � 27 en el ejemplo 2.3 es mucho mayor que las otras mediciones. 
La mediana, m � 7.5, no es afectada por el resultado atípico, en tanto que el promedio 
muestral,
x� � 
8xi ___ 
n
 � 60 ___ 6
 � 10
sí es afectado; su valor no es representativo de las cinco observaciones restantes.
Cuando un conjunto de datos tiene valores extremadamente pequeños u observacio-
nes muy grandes, la media muestral se traza hacia la dirección de las mediciones extre-
mas (véase la figura 2.3).
Simétrico: 
media � mediana.
Sesgada a la derecha: 
media � mediana.
Sesgada a la izquierda: 
media � mediana.
CONSEJOMIMI
FIGURA 2.3
Distribuciones de 
frecuencia relativa 
mostrando el efecto de 
valores extremos en la 
media y mediana
●
Si una distribución está sesgada a la derecha, la media se corre a la derecha; si una dis-
tribución está sesgada a la izquierda, la media se corre a la izquierda. La mediana no es 
afectada por estos valores extremos porque los valores numéricos de las mediciones 
no se usan en este cálculo. Cuando una distribución es simétrica, la media y la mediana 
son iguales. Si una distribución está fuertemente sesgada por uno o más valores extre-
mos, el usuario debe emplear la mediana en lugar de la media como medida de centro.
.25
.19
.12
.06
0
Media � mediana
a)
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
.25
.19
.12
.06
0
Media > mediana
b)
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
Se puede ver el efecto de valores extremos en la media y la mediana usando el applet 
How Extreme Values Affect the Mean and Median. El primero de tres applets 
(figura 2.4) muestra una gráfica de puntos de los datos del ejemplo 2.2. Use su mouse 
para mover la observación más grande (x � 11) aún más a la derecha. ¿En qué forma 
esta observación más grande afecta a la media? ¿Cómo afecta a la mediana? Usare-
mos este applet otra vez para los ejercicios Mi Applet al final del capítulo.
APPLETMIMI
FIGURA 2.4
Forma en que los valores 
extremos afectan al applet 
de la media y la mediana
●
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 56Probabilidad_Mendenhall_02.indd 56 5/14/10 8:15:56 AM5/14/10 8:15:56 AM
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Otra forma de localizar el centro de una distribución es buscar el valor de x que se 
presenta con la frecuencia más alta. Esta medida del centro se denomina moda.
Defi nición La moda es la categoría que se presenta con más frecuencia o el valor 
de x que se presenta con más frecuencia. Cuando las mediciones en una variable con-
tinua se han agrupado como histograma de frecuencia o de frecuencia relativa, la clase 
con el pico más alto o frecuencia se llama clase modal, y el punto medio de esa clase se 
toma como la moda.
La moda por lo general se usa para describir conjuntos grandes de datos, mientras que 
la media y la mediana se usan para conjuntos de datos grandes y pequeños. De los datos 
del ejemplo 1.11, la moda de la distribución del número de visitas hechas semanalmente 
a Starbucks para 30 clientes es de 5. La clase modal y el valor de x que se presenta con 
la más alta frecuencia son iguales, como se muestra en la figura 2.5a).
Para los datos de la tabla 1.9, un peso de 7.7 al nacer se presenta cuatro veces y, por 
tanto, la moda para la distribución de pesos al nacer es 7.7. Usando el histograma 
para hallar la clase modal, se encuentra que la clase con el pico más alto es la quinta 
clase, de 7.6 a 8.1. Nuestra opción para la moda sería el punto medio de esta clase, o sea 
7.85. Véase la figura 2.5b).
Es posible que una distribución de mediciones tenga más de una moda. Estas modas 
aparecerían como “picos locales” en la distribución de frecuencia relativa. Por ejemplo, 
si fuéramos a tabular la longitud de los peces sacados de un lago durante una temporada, 
podríamos obtener una distribución bimodal, posiblemente reflejando una mezcla de 
peces jóvenes y viejos en la población. A veces las distribuciones bimodales de tamaños 
o pesos reflejan una mezcla de mediciones tomadas en machos y hembras. En cualquier 
caso, un conjunto o distribución de mediciones puede tener más de una moda.
Recuerde que puede 
haber varias modas o 
puede no haberlas (si cada 
observación se presenta sólo 
una vez).
CONSEJOMIMI
TÉCNICAS BÁSICAS
2.1 Nos dan n � 5 mediciones: 0, 5, 1, 1, 3.
a. Trace una gráfica de puntos para los datos. 
(sugerencia: Si dos mediciones son iguales, ponga un 
punto arriba del otro.) Calcule el “centro” aproximado.
FIGURA 2.5
Histogramas de frecuencia 
relativa para datos de 
Starbucks y peso al nacer
●
8/25
6/25
4/25
2/25
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Visitas
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
a)
8/30
7/30
6/30
5/30
4/30
3/30
2/30
1/30
0
5.6 6.1 6.6 7.1 7.6 8.1 8.6 9.1 9.6
Peso al nacer
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
b)
 EJERCICIOS2.2
b. Encuentre la media, mediana y moda.
c. Localice las tres mediciones de centro en la gráfica 
de puntos en el inciso a). Con base en las posiciones 
relativas de la media y mediana, ¿las mediciones son 
simétricas o son sesgadas?
 2.2 MEDIDAS DE CENTRO ❍ 57
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	2 DESCRIPCIÓNDE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.2 Medidas de centro
	Ejercicios