introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-62

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160 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
ción, que solían estar asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico 
pero que ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Se emplea 
equipo automático de prueba para inspeccionar piezas en procesos de alto volumen de 
producción. Los exámenes de esteroides en atletas, los exámenes caseros de embarazo y 
los exámenes para detectar sida son algunas otras aplicaciones. Los exámenes de selec-
ción se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos 
son probabilidades condicionales.
Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición deter-
minada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de 
que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que la persona tiene 
la condición. Se pueden evaluar estas probabilidades condicionales usando una fórmula 
derivada por el probabilista Thomas Bayes.
El experimento comprende seleccionar una muestra de entre una de k subpoblaciones 
que sean mutuamente excluyentes y exhaustivas. Cada una de estas subpoblaciones, 
denotada por S1, S2, . . . , Sk, tiene una probabilidad de selección P(S1), P(S2), P(S3), . . . , 
P(Sk), llamadas probabilidades previas. Se observa un evento A en la selección. ¿Cuál 
es la probabilidad de que la muestra provino de la subpoblación Si, dado que A ha ocu-
rrido?
De la sección 4.6 se sabe que P(Si�A) � [P(A � Si)]/P(A), que se puede reescribir 
como P(Si�A) � [P(Si)P(A�Si)]/P(A). Usando la Ley de probabilidad total para reescri-
bir P(A), tenemos
P(Si�A) � 
P(Si)P(A�Si) ______________________________________________________ 
P(S1)P(A�S1) � P(S2)P(A�S2) � P(S3)P(A�S3) � � � � � P(Sk)P(A�Sk)
 
Es frecuente que estas nuevas probabilidades se conozcan como probabilidades pos-
teriores, es decir, probabilidades de las subpoblaciones (también llamadas estados de 
naturaleza) que se han actualizado después de observar la información muestral conte-
nido en el evento A. Bayes sugirió que si las probabilidades previas son desconocidas, se 
pueden tomar como 1/k, lo cual implica que cada uno de los eventos S1 a Sk es igualmente 
probable.
REGLA DE BAYES
 Con S1, S2, . . . , Sk representemos k subpoblaciones mutuamente excluyentes y exhaus-
tivas con probabilidades previas P(S1), P(S2), . . . , P(Sk). Si ocurre un evento A, la 
probabilidad posterior de Si dada A es la probabilidad condicional
P(Si�A) � 
para i � 1, 2, . . . , k.
Consulte el ejemplo 4.23. Encuentre la probabilidad de que una persona selecciona-
da tenía 65 años de edad o más, dado que la persona tenía al menos cinco pares de zapa-
tos tenis en buen estado.
Solución Es necesario encontrar la probabilidad condicional dada por
P(G5�A) � 
P(A � G5) _________ 
P(A)
 
Ya se ha calculado P(A) � .1689 usando la Ley de probabilidad total. Por tanto,
E J E M P L O 4.24
P(Si)P(A�Si)
		
�
k
j�1
P(Sj)P(A�Sj)
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 4.7 REGLA DE BAYES (OPCIONAL) ❍ 161
P(G5�A) �
 
P(G5)P(A�G5) _________________________________________________________________ 
P(G1)P(A�G1) � P(G2)P(A�G2) � P(G3)P(A�G3) � P(G4P(A�G4) � P(G5)P(A�G5)
 
 � 
(.17)(.14) __________________________________________________ 
(.09)(.26) � (.20)(.20) � (.31)(.13) � (.23)(.18) � (.17)(.14)
 
 � .0238 _____ .1689
 � .1409
En este caso, la probabilidad posterior de .14 es un poco menor que la probabilidad pre-
via de .17 (de la tabla 4.6). Este grupo a priori fue el segundo más pequeño y sólo una 
pequeña proporción de este segmento tenía cinco o más pares de zapatos tenis en buen 
estado.
¿Cuál es la probabilidad posterior de quienes tienen de 35 a 49 años de edad? Para 
este grupo de adultos, tenemos
P(G3�A) � 
(.31)(.13)
 __________________________________________________ 
(.09)(.26) � (.20)(.20) � (.31)(.13) � (.23)(.18) � (.17)(.14)
 � .2386
Esta probabilidad posterior de .24 es considerablemente menor que la probabilidad pre-
via de .31. En efecto, este grupo fue a priori el mayor segmento de la población mues-
treada, pero, al mismo tiempo, la proporción de individuos de este grupo que tenía al 
menos cinco pares de zapatos tenis en buen estado era la más pequeña de cualquiera de 
los grupos. Estos dos hechos tomados juntos causan un ajuste hacia abajo de casi un 
tercio de la probabilidad a priori de .31.
Las probabilidades de que ocurra un cuarto evento A, 
dado que ocurre el evento S1, S2 o S3, son
P(A�S1) � .2 P(A�S2) � .1 P(A�S3) � .3
Si se observa el evento A, encuentre P(S1�A), P(S2�A) y 
P(S3�A).
4.71 Ley de probabilidad total Una población se 
puede dividir en dos subgrupos que se presentan con 
probabilidades de 60% y 40%, respectivamente. Un 
evento A ocurre 30% del tiempo en el primer subgrupo 
y 50% del tiempo en el segundo subgrupo. ¿Cuál es la 
probabilidad incondicional del evento A, cualquiera que 
sea el subgrupo de donde venga?
APLICACIONES
4.72 Delincuencia violenta Los registros de 
delincuencia urbana muestran que 20% de todos 
los delitos son violentos y que 80% no lo son, abarcando 
robo, falsifi cación, etcétera. Noventa por ciento de 
los delitos violentos son denunciados contra 70% 
de los no violentos.
TÉCNICAS BÁSICAS
4.69 Regla de Bayes Una muestra se selecciona de una 
de dos poblaciones, S1 y S2, con probabilidades P(S1) � .7 
y P(S2)� .3. Si la muestra se ha seleccionado de S1, la 
probabilidad de observar un evento A es P(A�S1) � .2. 
Del mismo modo, si la muestra se ha seleccionado de S2, 
la probabilidad de observar A es P(A�S2) � .3.
a. Si una muestra se selecciona al azar de una de las dos 
poblaciones, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el 
evento A?
b. Si la muestra se selecciona al azar y se observa el 
evento A, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra 
sea seleccionada de la población S1? ¿Y de la 
población S2?
4.70 Regla de Bayes II Si se realiza un experimento, 
puede ocurrir uno y sólo uno de los tres eventos 
mutuamente excluyentes S1, S2 y S3, con estas 
probabilidades:
P(S1) � .2 P(S2) � .5 P(S3) � .3
 EJERCICIOS4.7
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162 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
a. ¿Cuál es el porcentaje general de denuncias por delitos 
urbanos?
b. Si un delito está ocurriendo y es denunciado a la 
policía, ¿cuál es la probabilidad de que sea violento? 
¿Cuál es la probabilidad de que no sea violento?
c. Consulte el inciso b). Si un crimen que esté 
ocurriendo se denuncia a la policía, ¿por qué es más 
probable que no sea violento? ¿No sería más probable 
que los delitos violentos se denunciaran? ¿Puede 
usted explicar estos resultados?
4.73 Error de un trabajador Una máquina operada 
por un trabajador produce un artículo defectuoso con 
probabilidad .01 si el trabajador sigue exactamente 
las instrucciones de operación de la máquina y 
con probabilidad .03 si no las sigue. Si él sigue las 
instrucciones 90% del tiempo, ¿qué proporción de 
todos los artículos producidos por la máquina será 
defectuosa?
4.74 Seguridad en un aeropuerto Suponga que, 
en una ciudad en particular, el aeropuerto A maneja 
50% de todo el tráfi co aéreo y los aeropuertos B y C 
manejan 30% y 20%, respectivamente. Los porcentajes 
de detección de armas en los tres aeropuertos son .9, .8 
y .85, respectivamente. Si se encuentra un pasajero en 
uno de los aeropuertos llevando un arma por la puerta de 
abordar, ¿cuál es la probabilidad de que el pasajero esté 
usando el aeropuerto A? ¿Y el aeropuerto C?
4.75 Estrategias en fútbol Se sabe que un equipo 
particular de fútbol corre 30% de sus jugadas a la 
izquierda y 70% a la derecha. El apoyador de un equipo 
contrario observa que el defensa derecho cambia su 
posicióncasi todo el tiempo (80%) cuando juega a la 
derecha y que sigue una posición balanceada el resto del 
tiempo. Cuando juega a la izquierda, el defensa toma 
una posición balanceada 90% del tiempo y la posición 
de cambio el restante 10%. En una jugada particular, 
el apoyador observa que el defensa toma una posición 
balanceada.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugada sea a la 
izquierda?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugada sea a la 
derecha?
c. Si usted fuera el apoyador, ¿qué dirección prepararía 
para defender si vio la posición balanceada?
4.76 No pasas, no juegas Muchas escuelas 
públicas están poniendo en práctica una regla de “no 
pasas, no juegas” para atletas. En este sistema, un 
estudiante que no apruebe un curso es descalifi cado 
para participar en actividades extracurriculares durante 
el siguiente periodo de califi cación. Suponga que hay 
una probabilidad de .15 de que un atleta, que 
previamente no ha sido descalifi cado, sea descalifi cado; 
la probabilidad de que un atleta descalifi cado vuelva 
a ser descalifi cado en el siguiente periodo es de .5. 
Si 30% de los atletas han sido descalifi cados antes, 
¿cuál es la probabilidad incondicional de que un atleta 
sea descalifi cado durante el siguiente periodo de 
califi cación?
4.77 Diagnóstico médico Las historias de casos 
clínicos indican que diferentes enfermedades pueden 
producir síntomas idénticos. Suponga que un conjunto 
particular de síntomas, que se denotarán como evento 
H, se presenta sólo cuando se presenta cualquiera de 
tres enfermedades, A, B o C. (Para mayor simplicidad, 
supondremos que las enfermedades A, B y C son 
mutuamente excluyentes.) Estudios realizados demuestran 
estas probabilidades de adquirir las tres enfermedades:
P(A) � .01
P(B) � .005
P(C) � .02
Las probabilidades de desarrollar los síntomas H, dada 
una enfermedad específi ca, son
P(H�A) � .90
P(H�B) � .95
P(H�C) � .75
Suponiendo que una persona enferma presente los 
síntomas H, ¿cuál es la probabilidad de que la persona 
tenga la enfermedad A?
4.78 ¿Engañar en sus impuestos? Suponga que 
5% de todas las personas que presentan el largo formato 
de pago de impuestos busca deducciones que se sabe son 
ilegales, y otro 2% incorrectamente anota deducciones 
porque no están familiarizados con los reglamentos 
de impuesto al ingreso. Del 5% que son culpables de 
engañar, 80% negarán saber del error si se confrontan a un 
investigador. Si quien presenta el largo formato se confronta 
a una deducción no justifi cada y niega saber del error, ¿cuál 
es la probabilidad de que sea declarada culpable?
4.79 Exámenes de selección Suponga que cierta 
enfermedad está presente en 10% de la población, y que 
hay un examen de selección diseñado para detectar si 
esta enfermedad está presente. El examen no siempre 
funciona a la perfección. A veces, es negativo cuando la 
enfermedad está presente y otras es positivo en ausencia 
de ella. La tabla siguiente muestra la proporción de 
tiempos en que el examen produce varios resultados.
 Examen es positivo (P ) Examen es negativo (N )
Enfermedad .08 .22
presente (D)
Enfermedad .05 .85
ausente (Dc) 
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	4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
	4.7 Regla de Bayes (opcional)
	Ejercicios