introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-92

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250 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
6.76 Genética en plantas En el ejercicio 5.75, 
una cruza entre dos plantas, una de ellas con pétalos 
rojos y una con pétalos veteados, produjeron plantas 
descendientes con pétalos rojos 75% de las veces. 
Suponga que 100 semillas de esta cruza se recolectaron y 
terminaron, y x, el número de plantas con pétalos rojos, 
se registró.
a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para x?
b. ¿Es apropiado aproximar la distribución del inciso a) 
usando la distribución normal? Explique.
c. Use un método apropiado para hallar la probabilidad 
aproximada de que entre 70 y 80 (inclusive) plantas 
descendientes tengan fl ores rojas.
d. ¿Cuál es la probabilidad de que 53 o menos de plantas 
descendientes tengan fl ores rojas? ¿Es éste un suceso 
poco común?
e. Si en realidad se observaron 53 de 100 plantas 
descendientes con fl ores rojas y si estábamos seguros 
que la proporción genética 3:1 era correcta, ¿qué otra 
explicación podría darse para este suceso poco común?
6.77 Proveedores A o B Un comprador de 
relevadores eléctricos hace compras a dos proveedores, 
A y B. El proveedor A suministra dos de cada 
tres relevadores empleados por la compañía. Si 75 
relevadores de los empleados por la compañía se 
seleccionan al azar, encuentre la probabilidad de que a 
lo sumo 48 de esos relevadores provengan del proveedor 
A. Suponga que la compañía utiliza un gran número de 
relevadores.
6.78 Bocadillos y TV ¿La televisión es riesgosa para 
la dieta de usted? Los psicólogos creen que comer en 
exceso puede estar asociado con estados emocionales 
(estar molesto o aburrido) e indicios ambientales (ver 
televisión, leer, etcétera). Para probar esta teoría, 
suponga que se han seleccionado al azar 60 personas 
con sobrepeso y pareadas en peso y género. Durante 2 
semanas, se pidió a uno de cada pareja que pasara las 
tardes leyendo novelas de interés para él o ella. El otro 
miembro de la pareja pasa las tardes viendo televisión. La 
cantidad de calorías de todos los bocadillos y refrescos 
consumidos por las tardes se registró por cada persona, 
siendo x � 19 el número de parejas para las cuales la 
ingesta de calorías de los televidentes fue mayor que 
la de los lectores. Si no hay diferencia en los efectos de 
televisión y lectura en ingesta de calorías, la probabilidad 
p de que la ingesta de calorías de un miembro de cada 
pareja exceda la del otro miembro es .5. ¿Estos datos 
dan sufi ciente evidencia para indicar una diferencia entre 
los efectos de ver televisión y leer en cuanto a ingesta 
de calorías se refi ere? (sugerencia: Calcule el puntaje z 
para el valor observado, x � 19.)
6.79 Tiempos de gestación The Biology Data Book 
informa que el tiempo de gestación para humanos bebés 
promedia 278 días, con una desviación estándar de 12 
días.8 Suponga que estos tiempos de gestación están 
normalmente distribuidos.
a. Encuentre los cuartiles superior e inferior para los 
tiempos de gestación.
b. ¿Sería poco común tener un bebé después de sólo 6 
meses de gestación? Explique.
6.80 Auditorías de impuestos En el ejercicio 
6.28, sugerimos que el IRS (Hacienda) asigna tasas de 
auditoría por estado, al seleccionar al azar 50 porcentajes 
de auditoría de una distribución normal con una media 
igual a 1.55% y desviación estándar de .45%.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un estado particular se 
audite más de 2% de sus devoluciones de impuesto al 
ingreso?
b. ¿Cuál es el valor esperado de x, el número de estados 
a los que se auditará más de 2% de sus devoluciones 
de impuesto al ingreso?
c. ¿Es probable que hasta 15 de los 50 estados se les audite 
más de 2% de sus devoluciones de impuesto al ingreso?
6.81 Su deporte favorito Hay diferencia en 
preferencias de deportes entre hombres y mujeres, 
según una encuesta reciente. Entre los 10 deportes más 
populares, los hombres incluyen deportes del tipo de 
competencia por ejemplo billar y carambola, baloncesto 
y softbol, mientras que las mujeres incluyen aerobics, 
correr, excursiones y calistenia. No obstante, la principal 
actividad recreativa para hombres era todavía el relajante 
deporte de la pesca, con 41% de los encuestados diciendo 
que habían pescado durante el año. Suponga que a 180 
hombres seleccionados al azar se les preguntó si habían 
pescado el año pasado.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 50 hayan 
pescado?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 50 y 75 hayan 
pescado?
c. Si los 180 hombres seleccionados para la entrevista 
fueran seleccionados por el departamento de 
marketing de una compañía de artículos deportivos, 
con base en información obtenida de sus listas 
de correos, ¿qué concluiría usted acerca de la 
confi abilidad de los resultados de su encuesta? 
6.82 ¿Introvertido o extrovertido? Un examen 
psicológico para introvertidos-extrovertidos produjo 
califi caciones que tenían una distribución normal con una 
media y desviación estándar de 75 y 12, respectivamente. 
Si deseamos designar el más alto 15% a extrovertidos, 
¿cuál sería la califi cación apropiada para escoger como el 
punto de corte?
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6.83 Doblar las califi caciones Es frecuente que 
los estudiantes pregunten a sus profesores si estarán 
“doblando las califi caciones”. La interpretación 
tradicional de “doblar califi caciones” requería que las 
califi caciones tuvieran una distribución normal y que 
las califi caciones se asignaran en estas proporciones: 
Letra de califi cación A B C D F
Proporción de estudiantes 10% 20% 40% 20% 10%
a. Si la califi cación promedio “C” está centrada como 
la califi cación promedio de todos los estudiantes y si 
suponemos que las califi caciones están normalmente 
distribuidas, ¿cuántas desviaciones estándar a cada 
lado de la media constituirán las califi caciones “C”?
b. ¿Cuántas desviaciones a cada lado de la media serán 
los puntos de corte para las califi caciones “B” y “D”?
6.84 Doblar las califi caciones, continúa Consulte 
el ejercicio 6.83. Para facilidad de cálculo, redondee el 
número de desviaciones estándar para califi caciones 
“C” a ±.5 desviaciones estándar y para califi caciones 
“B” y “D” a ±1.5 desviaciones estándar. Suponga que la 
distribución de califi caciones para un grupo grande 
de estudiantes tiene un promedio de 78 con 
una desviación estándar de 11. Encuentre los puntos de 
corte apropiados para las califi caciones A, B, C, D y F.
6.85 Temperaturas normales En el ejercicio 
1.67, Allen Shoemaker dedujo una distribución de 
temperaturas del cuerpo humano, que tiene una forma 
de montículo distintiva.9 Suponga que asumimos que las 
temperaturas de personas sanas son aproximadamente 
normales, con una media de 98.6 grados y una desviación 
estándar de 0.8 grados.
a. Si se selecciona al azar una persona sana, ¿cuál es la 
probabilidad de que la persona tenga una temperatura 
arriba de 99.0°?
b. ¿Cuál es el 95avo percentil para las temperaturas 
corporales de personas sanas?
APPLETMIMI Ejercicios
Use uno de los tres applets (Normal Distribution 
Probabilities, Normal Probabilities and z-Scores, o 
Normal Approximation to Binomial Probabilities) 
descritos en este capítulo, para resolver los siguientes 
ejercicios.
6.86 Calcule el área bajo la curva normal estándar a la 
izquierda de estos valores:
a. z � �.90 b. z � 2.34 c. z � 5.4
6.87 Calcule el área bajo la curva normal estándar entre 
estos valores:
a. z � �2.0 y z � 2.0 b. z � �2.3 y �1. 5
6.88 Encuentre las siguientes probabilidades para la 
variable z aleatoria normal estándar:
a. P(�1.96 � z � 1.96) b. P(z � 1.96)
c. P(z � �1.96)
6.89 a. Encuentre una z0 tal que P(z � z0)� .9750. 
b. Encuentre una z0 tal que P(�z0 � z0) � .3594.
6.90 a. Encuentre una z0 tal que P(�z0 � z � z0) � .95. 
b. Encuentre una z0 tal que P(�z0 � z � z0) � .98.
6.91 Una variable aleatoria normal x tiene media de 
m � 5 y s � 2. Encuentrelas siguientes probabilidades 
de estos valores x:
a. 1.2 � x � 10 b. x � 7.5 c. x � 0
6.92 Sea x una variable aleatoria binomial con n � 36 y 
p � .54. Use la aproximación normal para hallar:
a. P(x � 25) b. P(15 � x � 20)
c. P(x > 30)
6.93 Etiqueta de teléfono celular Un artículo en 
USA Today indica que 51% de los estadounidenses dicen 
que la persona promedio no es muy considerada hacia 
otros cuando habla por un teléfono celular.10 Suponga que 
se seleccionan al azar 100 estadounidenses.
¿Qué tan corteses son quienes hablan 
por teléfono celular?
No mucho
51%
Un poco
44%
Extremadamente
4%
a. Use el applet Calculating Binomial Probabilities del 
capítulo 5 para hallar la probabilidad exacta de que 
60 o más estadounidenses indicarían que la persona 
MI APPLET EJERCICIOS ❍ 251
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252 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
promedio no es muy considerada hacia otros cuando 
habla por teléfono celular.
b. Use el Normal Approximation to Binomial 
Probabilities para aproximar la probabilidad del 
inciso a). Compare sus respuestas.
6.94 Estampillas Los fi latelistas (coleccionistas 
de estampillas) con frecuencia ofrecen estampillas a 
precios de menudeo o cercanos a éstos, pero, cuando 
venden, el precio es considerablemente más bajo. Por 
ejemplo, puede ser razonable suponer que (dependiendo 
de la mezcla de una colección, condición, demanda, 
condiciones económicas, etc.) una colección se venderá 
a x% del precio de menudeo, donde x está normalmente 
distribuida con una media igual a 45% y una desviación 
estándar de 4.5%. Si un fi latelista tiene una colección 
para venderla, que tiene un valor al menudeo de $30 mil, 
¿cuál es la probabilidad de que el fi latelista reciba estas 
cantidades por la colección?
a. Más de $15 000 b. Menos de $15 000
c. Menos de $12 000
6.95 Califi caciones de examen Las califi caciones en 
un examen de conocimientos a nivel nacional estuvieron 
distribuidas normalmente en forma aproximada, con una 
media de 540 y una desviación estándar de 110.
a. Si usted recibió una califi cación de 680, ¿hasta qué 
punto, en desviaciones estándar, su califi cación se 
apartó de la media?
b. ¿Qué porcentaje de quienes tomaron el examen 
obtuvieron una califi cación más alta que usted?
6.96 Salarios del profesorado Aun cuando los 
salarios del profesorado en colegios y universidades en 
Estados Unidos continúa a la alza, no siempre siguen 
el paso con el costo de la vida ni con salarios del sector 
privado. En 2005, el National Center for Educational 
Services indicó que el salario promedio para profesores 
auxiliares en colegios públicos de cuatro años era de 
$50 581.11 Suponga que estos salarios están normalmente 
distribuidos con una desviación estándar de $4000.
a. ¿Qué proporción de profesores auxiliares en colegios 
públicos de cuatro años tendrá salarios menores a 
$45 000?
b. ¿Qué proporción de estos profesores tendrá salarios 
entre $45 000 y $55 000?
6.97 Trasplante de células Briggs y King inventaron 
la técnica de trasplante nuclear, en el que el núcleo de 
una célula de una de las etapas fi nales del desarrollo 
de un embrión es trasplantado en un cigoto (un huevo 
fertilizado de una sola célula) para ver si el núcleo puede 
soportar un desarrollo normal. Si la probabilidad de que 
un solo trasplante de la primera etapa de gástrula sea 
exitoso es .65, ¿cuál es la probabilidad de que más de 70 
trasplantes de entre 100 sean exitosos?
CASO 
PRÁCTICO La larga y la corta
Si usted fuera el jefe, ¿la estatura desempeñaría un papel en la selección que haga de un 
sucesor para el trabajo de usted? En su columna Fortune, Daniel Seligman expuso sus 
ideas respecto a la estatura como factor en la selección que hizo Deng Xiaoping en Hu 
Yaobang como su sucesor para presidente del Partido Comunista Chino.12 Como lo dice 
Seligman, los hechos que rodean el caso levantaron sospechas cuando fueron examinados 
a la luz de unas estadísticas.
Deng, parece ser, medía sólo 1.50 metros, lo cual es muy poco incluso en China. Por 
tanto, la selección de Hu Yaobang, que también medía 1.50 metros, levantó (o bajó) 
algunas cejas porque, como dice Seligman, “las probabilidades contra una decisión de 
estatura ciega que produjera un presidente de tan poca estatura como Deng son alrededor 
de 40 a 1”. En otras palabras, si tuviéramos la distribución de frecuencia relativa de las es-
taturas de todos los chinos, sólo 1 en 41 (es decir, 2.4%) mediría 1.50 metros o menos. Para 
calcular estas probabilidades, Seligman observa que el equivalente chino del U.S. Health 
Service no existe y por tanto que las estadísticas de salud en la población actual de China 
son difíciles de ver. Él dice, no obstante, que “se piensa en general que la longitud de 
un niño al nacer representa 28.6% de su estatura fi nal” y que, en la China antes de la 
revolución, la longitud promedio de un niño chino al nacer era de 18.9 pulgadas. De esto, 
Seligman deduce que la estatura media de hombres chinos adultos es
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1
.2
8
8
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� � 66.08 pulgadas, o sea 5 pies 6.08 pulgadas
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	6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
	CASO PRÁCTICO: La larga y la corta