introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-98

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268 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
¿Cómo calculo probabilidades para la media 
muestral x–?
Si se sabe que la distribución muestral de x� es normal o normalmente aproximada, se 
puede describir el comportamiento de la media muestral x� al calcular la probabilidad 
de observar ciertos valores de x� en muestreo repetido.
1. Encuentre m y calcule SE (x� ) � s/ �
__
 n .
2. Escriba el evento de interés en términos de x� y localice el área apropiada en la 
curva normal.
3. Convierta los valores necesarios de x� en valores z usando
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 
4. Use la tabla 3 del apéndice I para calcular la probabilidad.
Repertorio de ejercicios (Llene los espacios en blanco)
A. Usted toma una muestra aleatoria de tamaño n � 36 de una distribución con 
media m � 75 y s � 12. La distribución muestral de x� será aproximadamente 
 con una media de y una desviación estándar (o error estándar) 
de .
B. Para hallar la probabilidad de que la media muestral exceda de 80, anote el evento 
de interés. 
 Cuando x� � 80,
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 
 Encuentre la probabilidad:
P(x� � ) � P(z � ) � 1 � � 
C. Para hallar la probabilidad de que la media muestral sea entre 70 y 72, anote el 
evento de interés. 
 Cuando x� � 70 y x� � 72,
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � y z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 
 Encuentre la probabilidad:
P( � x� � ) � P( � z � ) 
 � � � 
Informe de progreso
• ¿Todavía tiene problemas? Trate de nuevo usando el Repertorio de ejercicios 
del fi nal de esta sección.
• ¿Ya domina la tabla z? Puede saltarse el Repertorio de ejercicios del fi nal de 
esta sección.
Las respuestas están al fi nal de este libro.
ENTRENADOR PERSONALMIMI
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 7.5 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL ❍ 269
E J E M P L O 7.4 La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio de síntomas hasta el falle-
cimiento varía de 3 a 20 años; el promedio es 8 años con una desviación estándar de 4 
años. El administrador de un gran centro médico al azar selecciona los registros médicos 
de 30 pacientes de Alzheimer ya fallecidos, de la base de datos del centro médico y anota 
la duración promedio. Encuentre las probabilidades aproximadas para estos eventos:
1. La duración promedio es menor a 7 años.
2. La duración promedio excede de 7 años.
3. La duración promedio está a no más de 1 año de la media poblacional m � 8.
Solución Como el administrador ha seleccionado una muestra grande de la base 
de datos en este centro médico, puede sacar conclusiones acerca de pacientes pasados, 
presentes o futuros con enfermedad de Alzheimer en este centro médico. Si, por el con-
trario, este centro médico puede ser considerado como representativo de otros centros 
médicos del país, puede ser posible sacar conclusiones de más largo alcance.
¿Qué se puede decir acerca de la forma de la población muestreada? No es simétrica, 
porque la media m � 8 no está a la mitad entre los valores máximo y mínimo. Como 
la media está más cercana al valor mínimo, la distribución está sesgada a la derecha, 
con unos pocos pacientes viviendo largo tiempo después que principia la enfermedad. 
Cualquiera que sea la forma de la distribución poblacional, no obstante, la distribución 
muestral de x� tiene una media de m � 8 y desviación estándar s/ �
__
 n � 4/ �
___
 30 � .73. 
Además, como el tamaño muestral es n � 30, el teorema del límite central asegura la 
normalidad aproximada de la distribución muestral de x�.
1. La probabilidad de que x� sea menor a 7 está dada por el área sombreada de la fi -
gura 7.8. Para hallar esta área, es necesario calcular el valor de z correspondiente 
a x� � 7:
 z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 7 � 8 _____ .73
 � �1.37
 De la tabla 3 del apéndice I se puede hallar el área acumulativa correspondiente a 
z � �1.37 y
 P(x� � 7) � P(z � �1.37) � .0853
Si x es normal, x� es normal 
para cualquier n.
Si x no es normal, x� es 
aproximadamente normal 
para n grande.
CONSEJOMIMI
μ = 8 
P(x < 7)
7 
f(x)
x
–1.37
z
FIGURA 7.8
Probabilidad de que x� sea 
menor a 7 para el 
ejemplo 7.4
●
[NOTA: Se debe usar s/ �
__
 n (no s) en la fórmula para z porque estamos buscando un área 
bajo la distribución muestral para x�, no bajo la distribución de probabilidad para x.]
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270 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
2. El evento de que x� exceda de 7 es el complemento del evento que x� sea menor a 
7. Entonces, la probabilidad de que x� exceda de 7 es
 P(x� � 7) � 1 � P(x� 	 7)
 � 1 � .0853 � .9147
3. La probabilidad de que x� se encuentre a no más de 1 año de m � 8 es el área 
sombreada en la fi gura 7.9. El valor z correspondiente a x� � 7 es z � �1.37, del 
inciso 1 y el valor z para x� � 9 es
 z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 9 � 8 _____ .73
 � �1.37 
 La probabilidad de interés es
 P(7 � x� � 9) � P(�1.37 � z � 1.37)
 � .9147 � .0853 � .8294
Recuerde que para variables 
aleatorias continuas, no hay 
probabilidad asignada a un 
punto solo. Por tanto, 
P(x� 	 7) � P(x� � 7).
CONSEJOMIMI
x
f(x)
μ = 8 
P(7 < x < 9)
7 9
z
–1.37 1.37
FIGURA 7.9
La probabilidad de que x� 
se encuentre a no más de 
1 año de m � 8 para el 
ejemplo 7.4
●
APPLETMIMI
El ejemplo 7.4 se puede resolver usando el applet Normal Probabilities for Means 
(Probabilidades normales para medias). Si usted teclea los valores para x�, s, m y n 
(presiona “Enter” para registrar cada uno de los cambios) y ajusta la lista descendente 
que está en la parte inferior del applet, puede calcular el área a la derecha o izquierda 
de z0, el área en dos colas o el área entre –z0 y z0. Por el contrario, si necesita hallar 
el valor de x� que corta cierta superfi cie bajo la curva, introduzca el área en la caja 
marcada “prob:” en la parte inferior del applet y éste dará el valor de x�. El applet de 
la fi gura 7.10 está ajustado para calcular P(7 � x� � 9) � .829 correcta a tres lugares 
decimales. Usted usará este applet para los ejercicios Mi Applet del fi nal de este 
capítulo.
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