introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-129

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9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 361
TÉCNICAS BÁSICAS
9.3 Encuentre las regiones de rechazo apropiadas para la 
estadística de prueba z de muestras grandes en estos casos:
a. Una prueba de cola derecha con a � .01
b. Una prueba de dos colas al nivel de signifi cancia de 5%
c. Una prueba de cola izquierda al nivel de signifi cancia 
de 1%
d. Una prueba de dos colas con a � .01
9.4 Encuentre el valor p para las siguientes pruebas z de 
muestras grandes:
a. Una prueba de cola derecha con z observada � 1.15
b. Una prueba de dos colas con z observada � �2.78
c. Una prueba de cola izquierda con z observada 
� �1.81
9.5 Para las tres pruebas dadas en el ejercicio 9.4, use el 
valor p para determinar la signifi cancia de los resultados. 
Explique lo que signifi ca “estadísticamente signifi cativo” 
en términos de rechazar o aceptar H0 y Ha.
9.6 Una muestra aleatoria de n � 35 observaciones de 
una población cuantitativa produjo una media de x� � 
2.4 y una desviación estándar s � .29. Suponga que el 
objetivo de su investigación es demostrar que la media 
poblacional m excede de 2.3.
a. Dé la hipótesis nula y alternativa para la prueba.
b. Localice la región de rechazo para la prueba usando 
un nivel de signifi cancia de 5%.
c. Encuentre el error estándar de la media.
d. Antes de realizar la prueba, use su intuición para 
decidir si es probable o improbable la media muestral 
x� � 2.4, suponiendo que m � 2.3. Ahora realice la 
prueba. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que m � 2.3?
9.7 Consulte el ejercicio 9.6.
a. Calcule el valor p para la estadística de prueba del 
inciso d).
b. Use el valor p para sacar una conclusión al nivel de 
signifi cancia de 5%.
c. Compare la conclusión del inciso b) con la conclusión 
alcanzada en el inciso d) del ejercicio 9.6. ¿Son 
iguales?
9.8 Consulte el ejercicio 9.6. Usted desea probar H0 : m 
� 2.3 contra Ha: m � 2.3.
a. Encuentre el valor crítico de x� usado para rechazar H0.
b. Calcule b � P(aceptar H0 cuando m � 2.4).
c. Repita el cálculo de b para m � 2.3, 2.5 y 2.6.
d. Use los valores de b de los incisos b) y c) para 
grafi car la curva de potencia para la prueba.
9.9 Una muestra aleatoria de 100 observaciones 
de una población cuantitativa produjo una media 
muestral de 26.8 y una desviación muestral estándar 
de 6.5. Use el método del valor p para determinar si 
la media poblacional es diferente de 28. Explique sus 
conclusiones.
APLICACIONES
9.10 Porcentajes de ocupación en líneas 
aéreas Los altos porcentajes de ocupación en 
vuelos regulares son esenciales para la rentabilidad 
corporativa. Suponga que un vuelo regular debe 
promediar al menos 60% de ocupación para ser 
rentable y un examen del porcentaje de ocupación 
para 120 vuelos de las 10:00 a.m. de Atlanta a Dallas 
mostró una ocupación media por vuelo de 58% y una 
desviación estándar de 11%.
a. Si m es la ocupación media por vuelo y si la 
compañía decide determinar si este vuelo es rentable 
o no lo es, dé la hipótesis alternativa y nula para la 
prueba.
b. ¿La hipótesis alternativa del inciso a) implica una 
prueba de una o de dos colas? Explique.
c. ¿Los datos de ocupación para los 120 vuelos sugieren 
que este vuelo regular no es rentable? Pruebe usando 
a � .05.
9.11 Carne para hamburguesa El ejercicio 8.33 se 
refi ere al departamento de carnes de una cadena local de 
supermercados que empaca carne molida en charolas 
de dos tamaños. La charola más pequeña está diseñada 
para contener 1 libra de carne. Una muestra aleatoria de 
35 paquetes de la charola más pequeña de carne produjo 
mediciones de peso con un promedio de 1.01 libras y una 
desviación estándar de .18 libras.
a. Si usted fuera el gerente de control de calidad y 
deseara asegurarse que la cantidad promedio de carne 
molida era en realidad de 1 libra, ¿cuáles hipótesis 
probaría?
b. Encuentre el valor p para la prueba y úselo para 
efectuar la prueba del inciso a).
c. ¿De qué modo usted, como gerente de control de 
calidad, informa los resultados de su estudio a un 
grupo de interés del consumidor?
9.12 Especies invasoras En un estudio de la 
perniciosa manzanilla cimarrona gigante, una de las 
especies herbáceas más altas en Europa, Jan Pergl1 
y asociados compararon la densidad de estas plantas 
en lugares controlados y no controlados de la región 
del Cáucaso en Rusia. En su zona nativa, la densidad 
promedio se encontró que era de cinco plantas por metro 
cuadrado. En la zona invadida en la República Checa, 
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362 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
una muestra de n � 50 plantas produjo una densidad 
promedio de 11.17 plantas por metro cuadrado con una 
desviación estándar de 3.9 plantas por metro cuadrado.
a. ¿La zona invadida en la república checa tiene una 
densidad promedio de manzanilla cimarrona gigante 
que es diferente de m � 5 al nivel de signifi cancia 
a � �.05?
b. ¿Cuál es el valor p asociado con la prueba del inciso 
a)? ¿Puede usted rechazar H0 al nivel de signifi cancia 
de 5% usando el valor p?
9.13 Potencia de un antibiótico Un fabricante de 
medicamentos dijo que la potencia media de uno de sus 
antibióticos fue 80%. Se probó una muestra aleatoria de 
n � 100 cápsulas y produjo una media muestral de x� � 
79.7% con una desviación estándar de s � .8%. ¿Los 
datos presentan sufi ciencia evidencia para refutar lo dicho 
por el fabricante? Sea a � .05.
a. Exprese la hipótesis nula a ser probada.
b. Exprese la hipótesis alternativa.
c. Realiza una prueba estadística de la hipótesis nula y 
exprese su conclusión.
9.14 Horario fl exible Numerosas compañías 
tienen ahora un horario fl exible, en el que un trabajador 
programa sus propias horas de trabajo o “comprime” el 
tiempo de semanas de trabajo. Una compañía que estaba 
contemplando la instalación de un programa de horario 
fl exible estimó que necesitaba una media mínima de 7 
horas por día por trabajador de ensamble para operar de 
manera efi ciente. A cada uno de una muestra aleatoria 
de 80 ensambladores de la compañía se les pidió que 
enviaran un programa de horario fl exible. Si el número 
medio de horas por día para el lunes era de 6.7 horas y 
la desviación estándar fue de 2.7 horas, ¿los datos dan 
sufi ciente evidencia para indicar que el número medio 
de horas trabajadas por día los lunes, para todos los 
ensambladores de la compañía, será menor a 7 horas? 
Pruebe usando a � .05.
9.15 ¿La educación universitaria da 
resultados? Un artículo del Time que describe varios 
aspectos de la vida de los estadounidenses indicó que la 
educación superior da resultados positivos. Los 
egresados de universidad trabajan 7.4 horas por día, 
menos que quienes no tienen educación universitaria.2 
Suponga que el día hábil promedio, para una muestra 
aleatoria de n � 100 personas que tenían menos de cuatro 
años de educación universitaria, se calculó de x� � 7.9 
horas con una desviación estándar de s � 1.9 horas.
a. Use el método del valor p para probar la hipótesis 
de que el número promedio de horas trabajadas, 
por personas que no tienen título universitario, es 
mayor que los que sí lo tienen. ¿A qué nivel se puede 
rechazar H0?
b. Si usted fuera egresado de universidad, ¿cómo 
expresaría su conclusión para estar en la mejor 
posición?
c. Si no fuera egresado de universidad, ¿cómo expresaría 
su conclusión?
9.16 ¿Qué es normal? ¿Qué es normal, cuando 
se trata de temperaturas corporales de personas? Una 
muestra aleatoria de 130 temperaturas corporales en 
personas, dada por Allen Shoemaker3 en la Journal of 
Statistical Education, tuvo una media de 98.25 grados 
y una desviación estándar de 0.73 grados. ¿Los datos 
indican que el promedio de temperatura corporal para 
personas sanas es diferente de 98.6 grados, que es el 
promedio de temperatura citada por médicos y otros 
especialistas? Pruebe usandolos dos métodos dados en 
esta sección.
a. Use el método del valor p con a � .05.
b. Use el método del valor crítico con a � .05.
c. Compare las conclusiones de los incisos a) y b). 
¿Son iguales?
d. El estándar de 98.6 fue deducido por un médico 
alemán en 1868, quien dijo haber registrado un millón 
de temperaturas en el curso de su investigación.4 
¿Qué conclusiones se pueden sacar acerca de la 
investigación de este último, teniendo en cuenta las 
conclusiones del mismo en los incisos a) y b)?
9.17 Deportes y lesiones en el tendón de 
Aquiles Algunos deportes en los que hay que correr 
distancias considerables, saltar con o sin garrocha, 
ponen a los participantes en riesgo de tendinopatía de 
Aquiles (AT), que es una infl amación y engrosamiento 
del tendón de Aquiles. Un estudio de The American 
Journal of Sports Medicine vio el diámetro (en mm) de 
los tendones afectados para pacientes que participaron 
en estos tipos de actividades deportivas.5 Suponga que 
los diámetros del tendón de Aquiles en la población 
en general tienen una media de 5.97 milímetros (mm). 
Cuando los diámetros del tendón afectado se midieron 
para una muestra aleatoria de 31 pacientes, el diámetro 
promedio fue de 9.80 con una desviación estándar de 
1.95 mm. ¿Hay sufi ciente evidencia para indicar que 
el diámetro promedio del tendón para pacientes con 
AT es mayor a 5.97 mm? Pruebe al nivel de 5% de 
signifi cancia.
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 9.4 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES ❍ 363
9.4
UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS 
GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE 
DOS MEDIAS POBLACIONALES
En numerosas situaciones, la pregunta estadística a ser contestada involucra una com-
paración de dos medias poblacionales. Por ejemplo, el U.S. Postal Service está inte-
resado en reducir su enorme gasto de 350 millones de galones de gasolina al año al 
cambiar sus camiones de motor de gasolina por camiones eléctricos. Para determinar 
si se obtienen ahorros importantes en costos de operación al cambiar a camiones eléc-
tricos, debe efectuarse un estudio piloto usando, por ejemplo, cien camiones conven-
cionales del correo con motor de gasolina y cien camiones eléctricos operados bajo 
condiciones similares.
El estadístico que resume la información muestral respecto a la diferencia en medias 
poblacionales (m1 � m2) es la diferencia en medias muestrales (x�1 � x�2). Por tanto, al 
probar si la diferencia en medias muestrales indica que la diferencia verdadera en medias 
poblacionales difi ere de un valor especifi cado, (m1 � m2) � D0, se puede usar el error 
estándar de (x�1 � x�2),
��sn1
2
1
� � �
s
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2
2
� estimada por SE � ��ns
2
1
1
� � �
n
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2
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en la forma de un estadístico z para medir a cuántas desviaciones estándar se encuentra 
la diferencia (x�1 � x�2) desde la diferencia hipotética D0. A continuación se describe el 
procedimiento formal de prueba.
PRUEBA ESTADÍSTICA DE MUESTRAS GRANDES 
PARA (m1 � m2)
1. Hipótesis nula: H0 : (m1 � m2) � D0, donde D0 es alguna diferencia especifi cada 
que se desea probar. Para muchas pruebas, el experimentador hará hipótesis 
de que no hay diferencia entre m1 y m2; esto es, D0 � 0.
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : (m1 � m2) � D0 Ha : (m1 � m2) � D0
 [o Ha : (m1 � m2) � D0]
3. Estadístico de prueba: z 	 
( x�1 � x�2) � D0 ____________ 
SE
 � 
(x�1 � x�2) � D0
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��ns
2
1
1
� � �
n
s22
2
�
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 z � za z � za/2 o bien z � �za/2
 [o z � �za cuando la hipótesis
 alternativa es Ha : (m1 � m2) � D0]
 o cuando el valor p � a
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.4 Una prueba de hipótesis de muestras grandes para la diferencia entre dos medias poblacionales