introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-133

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9.6 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES BINOMIALES ❍ 373
insomnio y observamos que 37 de ellos habían tenido 
sueño inducido por la dosis del medicamento. ¿Hay 
sufi ciente evidencia para refutar su dicho al nivel 
de signifi cancia de 5%?
9.40 ¿Quién vota? Alrededor de tres cuartas partes 
del electorado de Estados Unidos están registrados para 
votar, pero muchos no se molestan en votar el día de 
elecciones. Sólo 64% votaron en 1992 y 60% en 2000, 
pero la concurrencia en elecciones fuera del año es 
incluso más baja. Un artículo en el Time dijo que 35% 
de adultos estadounidenses son votantes registrados 
que siempre votan.10 Para probar esto, se seleccionó 
una muestra aleatoria de n � 300 ciudadanos y x � 123 
eran votantes regulares registrados que siempre votaban. 
¿Esta muestra da sufi ciente evidencia para indicar que 
el porcentaje de adultos que dicen que siempre votan es 
diferente del porcentaje publicado en el Time? Pruebe 
usando a � .01.
9.41 El mejor amigo del hombre La Sociedad 
protectora de animales informa que hay alrededor 
de 65 millones de perros en Estados Unidos y que 
aproximadamente 40% de todas las familias en Estados 
Unidos tienen al menos un perro.11 En una muestra 
aleatoria de 300 familias, 114 dijeron que tenían al menos 
un perro. ¿Estos datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que la proporción de familias con al menos un 
perro es diferente de la publicada por la Humane Society? 
Pruebe usando a � .05.
9.6
UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS 
DE MUESTRAS GRANDES PARA 
LA DIFERENCIA ENTRE DOS 
PROPORCIONES BINOMIALES
Cuando se seleccionaron muestras aleatorias e independientes de dos poblaciones bino-
miales, el punto central del experimento puede ser la diferencia (p1 � p2) en las pro-
porciones de individuos u objetos que poseen una característica especifi cada en las 
dos poblaciones. En esta situación, usted puede usar la diferencia en las proporciones 
muestrales ( p̂1 � p̂2) junto con su error estándar,
SE � ��pn1
q
1
1
� � �
p
n
2q
2
2
�
en la forma de un estadístico z para probar una diferencia signifi cativa en las dos propor-
ciones poblacionales. La hipótesis nula a probarse suele ser de la forma
H0 : p1 � p2 o H0 : ( p1 � p2) � 0
contra una hipótesis alternativa ya sea de una cola o de dos colas. La prueba formal de 
hipótesis se resume en la siguiente plana. Al estimar el error muestral para el estadístico 
z, se debe usar el hecho de que cuando H0 es verdadera, las dos proporciones poblacio-
nales son iguales a algún valor común, por ejemplo p. Para obtener la mejor estimación 
de este valor común, los datos muestrales son “agrupados” y la estimación de p es
p̂ � Número total de éxitos _____________________ Número total de intentos
 � 
x1 � x2 _______ n1 � n2
 
Recuerde que, para que la diferencia de las proporciones muestrales tengan una dis-
tribución aproximadamente normal, los tamaños muestrales deben ser grandes y las 
proporciones no deben estar demasiado cerca de 0 o 1.
Recuerde: Cada intento 
resulta en uno de 
dos resultados (E o F).
CONSEJOMIMI
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374 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
α/2α/2α
0 0
–zα/2zα zα/2
 Suposiciones: Las muestras son seleccionadas al azar y de manera independiente 
de las dos poblaciones, n1 y n2 son grandes lo sufi ciente para que la distribución 
muestral de ( p̂1 � p̂2) pueda ser aproximada por una distribución normal. Esto es, 
n1p̂1, n1q̂1, n2 p̂2 y n2q̂2 deben ser mayores a 5 todas.
Los registros de un hospital indican que 52 hombres de una muestra de 1000 contra 23 
mujeres de una muestra de 1000 fueron ingresados por enfermedad del corazón. ¿Estos 
datos presentan sufi ciente evidencia para indicar un porcentaje más alto de enfermeda-
des del corazón entre hombres ingresados al hospital? Use a � .05.
Solución Suponga que el número de pacientes ingresados por enfermedad del cora-
zón tiene una distribución aproximada binomial de probabilidad para hombres y mujeres 
p̂1 � p̂2
��
��pn1
q
1
1
� � �
p
n
2q
2
2
�
p̂1 � p̂2
��
��pn
q
1
� � �
p
n
q
2
�
PRUEBA ESTADÍSTICA DE MUESTRAS GRANDES 
PARA (p1 � p2)
1. Hipótesis nula: H0 : (p1 � p2) � 0 o equivalentemente H0 : p1 � p2
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : ( p1 � p2) � 0 Ha : ( p1 � p2) � 0
 [o Ha : ( p1 � p2) � 0]
3. Estadístico de prueba: z � 
(p̂1 � p̂2) � 0 ___________ 
SE
 � � 
 donde p̂1 � x1/n1 y p̂2 � x2/n2. Como el valor común de p1 � p2 � p (empleado en 
el error estándar) se desconoce, se estima con 
 p̂ � 
x1 � x2 _______ n1 � n2
 
 y el estadístico de prueba es
 z � 
( p̂1 � p̂2) � 0
��
��pn
ˆq
1
ˆ
� � �
p
n
ˆq
2
ˆ
�
 o z � 
p̂1 � p̂2
��
�p̂q̂��n11� � �n
1
2
��
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 z � za z � za/2 o bien z � �za/2
 [o z � �za cuando la hipótesis
 alternativa es Ha : (p1 � p2) � 0]
 o cuando el valor p � a
E J E M P L O 9.12
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 9.6 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES BINOMIALES ❍ 375
con parámetros p1 y p2, respectivamente. Entonces, como el investigador desea deter-
minar si p1 � p2, probará la hipótesis nula p1 � p2, es decir, H0 : (p1 � p2) � 0 contra 
la hipótesis alternativa Ha : p1 � p2 o bien, lo que es equivalente, Ha : (p1 � p2) � 0. 
Para efectuar esta prueba, use el estadístico de prueba z y aproxime el error estándar 
usando la estimación agrupada de p. Como Ha implica una prueba de una cola, puede 
rechazar H0 sólo para valores grandes de z. Entonces, para a � .05, puede rechazar H0 si 
z � 1.645 (véase la fi gura 9.13).
La estimación agrupada de p requerida para el error estándar es
p̂ � 
x1 � x2 _______ n1 � n2
 � � .0375
f(z)
0 z
α = .05
1.645
Región de rechazo
FIGURA 9.13
Ubicación de la región de 
rechazo para el ejemplo 
9.12
●
 52 � 23 ___________ 
1000 � 1000
 
y el estadístico de prueba es
z � � � 3.41
Como el valor calculado de z cae en la región de rechazo, puede rechazar la hipótesis 
de que p1 � p2. Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar que el porcen-
taje de hombres que ingresan al hospital por enfermedad del corazón es más alto que 
el de mujeres. (NOTA: Esto no implica que la incidencia de enfermedad del corazón 
sea más alta en hombres. ¡Quizá menos mujeres ingresen al hospital cuando están 
afectadas por esa enfermedad!)
¿Cuánto más alta es la proporción de hombres que de mujeres que ingresan al hos-
pital con enfermedad del corazón? Un límite inferior de una cola de 95% de confi anza 
ayudará a hallar el mínimo valor probable para la diferencia.
( p̂1 � p̂2) � 1.645��p̂n1
q
1
ˆ1
� � 
p̂
n
2q
2
ˆ2
(.052 � .023) � 1.645� .051
2
0
(.
0
9
0
48)
 � 
.02
1
3
0
(.
0
9
0
77)
.029 � .014
o (p1 � p2) � .015. La proporción de hombres es aproximadamente 1.5% más alta que 
de mujeres. ¿Esto es de importancia práctica? Ésta es una pregunta para que el investi-
gador conteste.
En algunas situaciones puede ser necesario probar para una diferencia D0 (que no 
sea 0) entre dos proporciones binomiales. Si éste es el caso, la estadística de prueba se 
p̂1 � p̂2
��
�p̂q̂��n11� � �n
1
2
��
.052 � .023
����
�(.0375 )(.9625 )��10100� � �10100��
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.6 Una prueba de hipótesis de muestras grandes para la diferencia entre dos proporciones binomiales