introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-144

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406 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Cuando los tamaños muestrales sean pequeños, los valores críticos para este estadístico 
se encuentran usando grados de libertad aproximados por la fórmula
df � 
(
(
n
s
1
1
2
 
/
�
n1
 
)
1
2
)
 � 
(
(
n
s
2
2
2
 
/
�
n2
 
)
1
2
)
��n
s1
2
1
� � �
n
s2
2
2
��
2
Los grados de libertad se toman como la parte entera de este resultado.
Se pueden usar paquetes computarizados como el MINITAB para poner en práctica este 
procedimiento, a veces llamado aproximación de Satterthwaite’s, así como el método 
agrupado descrito ya antes. De hecho, algunos experimentadores escogen analizar sus 
datos usando ambos métodos. Mientras los dos análisis lleven a las mismas conclusio-
nes, no es necesario preocuparse con la igualdad o desigualdad de varianzas.
La salida impresa MINITAB, resultante del método agrupado de análisis para los datos 
del ejemplo 10.5, se muestra en la figura 10.13. Observe que la razón entre las dos va-
rianzas muestrales, (4.94/4.48)2 � 1.22 es menor a 3, lo cual hace aproximado el método 
agrupado. El valor calculado de t � 1.65 y el valor p exacto � .059 con 16 grados de 
libertad se muestran en la última línea de la salida. El valor p exacto hace muy fácil 
determinar la significancia o no significancia de los resultados muestrales. Se encontra-
rán instrucciones al generar esta salida impresa MINITAB en la sección “Mi MINITAB ” al 
final de este capítulo.
Si hay razón para pensar que las suposiciones de normalidad han sido violadas, se 
puede probar un cambio en lugar de dos distribuciones poblacionales usando la prueba 
de suma de rango no paramétrica de Wilcoxon del capítulo 15. Este procedimiento de 
prueba, que requiere menos suposiciones respecto a la naturaleza de las distribuciones 
de probabilidad poblacionales, es casi igualmente sensible para detectar una diferencia 
en medias poblacionales cuando las condiciones necesarias para la prueba t se satisfa-
gan. Puede ser más sensible cuando no se satisfaga la suposición de normalidad.
Two-Sample T-Test and CI: Online, Classroom
Two-sample T for Online vs Classroom
 N Mean StDev SE Mean
Online 9 35.22 4.94 1.6
Classroom 9 31.56 4.48 1.5
Difference = mu (Online) - mu (Classroom)
Estimate for difference: 3.67
95% lower bound for difference: -0.21
T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 1.65 P-Value = 0.059 DF = 16
Both use Pooled StDev = 4.7155
FIGURA 10.13
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 10.5
●
 EJERCICIOS10.4
TÉCNICAS BÁSICAS
10.18 Dé el número de grados de libertad para s2, el 
estimador agrupado de s 2, en estos casos:
a. n1 � 16, n2 � 8
b. n1 � 10, n2 � 12
c. n1 � 15, n2 � 3
10.19 Calcule s2, el estimador agrupado de s 2, en estos 
casos:
a. n1 � 10, n2 � 4, s
2
1 � 3.4, s
2
2 � 4.9
b. n1 � 12, n2 � 21, s
2
1 � 18, s
2
2 � 23
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 406Probabilidad_Mendenhall_10.indd 406 5/14/10 8:51:10 AM5/14/10 8:51:10 AM
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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 407
10.20 Dos muestras aleatorias independientes de 
tamaños n1 � 4 y n2 � 5 se seleccionan de cada una 
de dos poblaciones normales:
Población 1 12 3 8 5
Población 2 14 7 7 9 6
a. Calcule s2, el estimador agrupado de s 2.
b. Encuentre un intervalo de confianza de 90% 
para (m1 � m2), la diferencia entre las dos medias 
poblacionales.
c. Prueba H0 : (m1 � m2) � 0 contra Ha : (m1 � m2) � 0 
para a � .05. Exprese sus conclusiones.
10.21 Muestras aleatorias independientes de n1 � 16 
y n2 � 13 observaciones fueron seleccionadas de dos 
poblaciones normales con iguales varianzas:
 Población
 1 2
Tamaño muestral 16 13
Media muestral 34.6 32.2
Varianza muestral 4.8 5.9
a. Supongamos que usted desea detectar una diferencia 
entre las medias poblacionales. Exprese la hipótesis 
nula y alternativa para la prueba.
b. Encuentre la región de rechazo para la prueba del 
inciso a) para a � .01.
c. Encuentre el valor del estadístico de prueba.
d. Encuentre el valor p aproximado para la prueba.
e. Realice la prueba y exprese sus conclusiones.
10.22 Consulte el ejercicio 10.21. Encuentre un 
intervalo de confi anza de 99% para (m1 � m2).
10.23 La salida impresa MINITAB muestra una prueba 
de la diferencia en dos medias poblacionales.
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 10.23
Prueba T de dos muestras y CI: muestra 1, muestra 2
Two-sample T for Sample 1 vs Sample 2
 N Mean StDev SE Mean
Sample 1 6 29.00 4.00 1.6
Sample 2 7 28.86 4.67 1.8
Difference = mu (Sample 1) - mu (Sample 2)
Estimate for difference: 0.14
95% CI for difference: (-5.2, 5.5)
T-Test of difference = 0 (vs not =): 
T-Value = 0.06 P-Value = 0.95 DF = 11
Both use Pooled StDev = 4.38
a. ¿Las dos desviaciones muestrales estándar indican que 
la suposición de una varianza poblacional común es 
razonable?
b. ¿Cuál es el valor observado del estadístico 
de prueba? ¿Cuál es el valor p asociado con esta 
prueba?
c. ¿Cuál es la estimación agrupada s2 de la varianza 
poblacional?
d. Use las respuestas al inciso b) para sacar 
conclusiones acerca de la diferencia en las dos medias 
poblacionales.
e. Encuentre el intervalo 95% para la diferencia en las 
medias poblacionales. ¿Este intervalo confirma sus 
conclusiones del inciso d)?
APLICACIONES
10.24 Dientes sanos Jan Lindhe realizó un estudio 
sobre el efecto de un enjuague oral antiplaca sobre la 
acumulación de placa en dientes.6 Catorce personas 
cuyos dientes estaban muy limpios y pulidos se asignaron 
al azar a dos grupos de siete personas cada uno. Ambos 
grupos fueron asignados para usar enjuagues orales (no 
cepillado) durante un periodo de dos semanas. El grupo 1 
utilizó un enjuague que contenía un agente antiplaca. El 
grupo 2, el grupo de control, recibió un enjuague similar 
excepto que, sin saberlo las personas, el enjuague no 
contenía agente antiplaca. Un índice x de placa, medida 
de acumulación de placa, fue registrado a las 4, 7 y 14 
días. La media y desviación estándar para las mediciones 
de placa de 14 días se muestran en la tabla para los dos 
grupos.
 Grupo de control Grupo antiplaca
Tamaño muestral 7 7
Media 1.26 .78
Desviación estándar .32 .32
a. Exprese la hipótesis nula y alternativa que deberían 
usarse para probar la efectividad del enjuague oral 
antiplaca.
b. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
el enjuague oral antiplaca es eficaz? Pruebe usando 
a � .05.
c. Encuentre el valor p aproximado para la prueba.
10.25 Atún, otra vez En el ejercicio 
10.6 hemos presentado datos sobre el precio 
promedio estimado para una lata de 6 onzas o una bolsa 
de 7.06 onzas de atún, con base en precios pagados a 
nivel nacional en supermercados. Una parte de los datos 
se reproduce en la tabla siguiente. Use la salida impresa 
MINITAB para contestar las preguntas.
DATOSMISMIS
EX1025
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 407Probabilidad_Mendenhall_10.indd 407 5/14/10 8:51:10 AM5/14/10 8:51:10 AM
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408 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Atún claro Atún claro
en agua en aceite
 .99 .53 2.56 .62
1.92 1.41 1.92 .66
1.23 1.12 1.30 .62
 .85 .63 1.79 .65
 .65 .67 1.23 .60
 .69 .60 .67
 .60 .66
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 10.25
Prueba T de dos muestras y CI: agua, aceite
Two-sample T for Water vs Oil
 N Mean StDev SE Mean
Water 14 0.896 0.400 0.11
Oil 11 1.147 0.679 0.20
Difference = mu (Water) - mu (Oil)
Estimate for difference: -0.251
95% CI for difference: (-0.700, 0.198)
T-Test of difference = 0 (vs not =): 
T-Value = -1.16 P-Value = 0.260 DF = 23
Both use Pooled StDev = 0.5389
a. ¿Los datos de la tabla presentan suficiente evidencia 
para indicar una diferencia en los precios promedio de 
atún claro en agua contra atún claro en aceite? Pruebe 
usando a � .05.
b. ¿Cuál es el valor p para la prueba?
c. El análisis del MINITAB usa la estimación agrupada de 
s2. ¿La suposición de igualesvarianzas es razonable? 
¿Por qué sí o por qué no?
10.26 Corredores y ciclistas El síndrome del 
compartimiento anterior crónico es una afección 
caracterizada por dolor inducido por ejercicio en la parte 
inferior de las piernas. Hinchazón y función dañada en 
nervios y músculos también acompañan a este dolor, 
que se alivia con reposo. Susan Beckham y colegas 
efectuaron un experimento, donde participaron 10 
corredores sanos y 10 ciclistas sanos, para determinar si 
hay diferencias signifi cativas en mediciones de presión 
dentro del compartimiento anterior del músculo para 
corredores y ciclistas.7 El resumen de datos, presión 
del compartimiento en milímetros de mercurio (Hg), es 
como sigue:
 Corredores Ciclistas
 Desviación Desviación
Afección Media estándar Media estándar
En reposo 14.5 3.92 11.1 3.98
80% máximo
 consumo de O2 12.2 3.49 11.5 4.95
Máximo consumo de O2 19.1 16.9 12.2 4.47
a. Pruebe para una diferencia significativa en presión 
del compartimiento entre corredores y ciclistas bajo la 
condición de reposo. Use a � .05.
DATOSMISMIS
EX1028
DATOSMISMIS
EX1029
b. Construya una estimación de intervalo de confianza 
de 95% de la diferencia en medias para corredores 
y ciclistas, bajo la condición de ejercitarse a 80% de 
consumo máximo de oxígeno.
c. Con el fin de probar para una diferencia significativa 
en presión del compartimiento a máximo consumo 
de oxígeno, ¿debe usarse la prueba t agrupada o no 
agrupada? Explique.
10.27 Desinfectantes Un experimento publicado en 
The American Biology Teacher estudió la efi cacia de usar 
95% de etanol o 20% de blanqueador, como desinfectante 
para eliminar la contaminación por bacterias y hongos en 
cultivos de tejidos de plantas. El experimento se repitió 15 
veces con cada desinfectante usando berenjenas como tejido 
de planta cultivada.8 Cinco cortes por planta se colocaron 
en una caja de Petri para cada desinfectante y se guardaron 
a 25ºC durante 4 semanas. La observación informada fue el 
número de cortes no contaminados de berenjena después 
del almacenamiento de 4 semanas.
Desinfectante 95% etanol 20% de blanqueador
Media 3.73 4.80
Varianza 2.78095 .17143
n 15 15
 Varianza agrupada 1.47619
a. ¿Está usted dispuesto a suponer que las varianzas 
originales son iguales?
b. Usando la información del inciso a), ¿está usted 
dispuesto a concluir que hay una diferencia 
significativa en los números medios de berenjenas no 
contaminadas para los dos desinfectantes probados?
10.28 Titanio Un geólogo recolectó 20 
muestras diferentes de mineral, todas del mismo 
peso y al azar las dividió en dos grupos. Los contenidos 
de titanio de las muestras, que encontró usando dos 
métodos diferentes, se detallan en la tabla:
 Método 1 Método 2
.011 .013 .013 .015 .014 .011 .016 .013 .012 .015
.013 .010 .013 .011 .012 .012 .017 .013 .014 .015
a. Use un método apropiado con el fin de probar para una 
diferencia significativa en los contenidos promedio de 
titanio usando los dos métodos diferentes.
b. Determine una estimación del intervalo de 
confianza de 95% para (m1 � m2). ¿La estimación 
de su intervalo justifica su conclusión del inciso a)? 
Explique.
10.29 Pasitas El número de pasitas en 
cada una de 14 minicajas (tamaño de 1/2 onza) 
se contó para pasitas de una marca genérica y para las 
Sunmaid®.
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 408Probabilidad_Mendenhall_10.indd 408 5/14/10 8:51:10 AM5/14/10 8:51:10 AM
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.4 Inferencias de muestra pequeña para la diferencia entre dos medias poblacionales: muestras aleatorias independientes
	Ejercicios