introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-231

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• La prueba H de Kruskal-Wallis es el rango equivalente al análisis de varianza 
de una vía de la prueba F.
• La prueba Fr de Friedman es el rango equivalente del análisis de varianza de dos 
vías del diseño aleatorizado de bloques de la prueba F.
• El rs de correlación de rango de Spearman es el rango equivalente al coefi ciente 
de correlación de Pearson.
Estos y muchos más procedimientos no paramétricos están disponibles como alter-
nativas a las pruebas paramétricas presentadas anteriormente. Es importante tener en 
cuenta que cuando los supuestos necesarios de las poblaciones muestreadas están relaja-
das, nuestra capacidad para detectar diferencias significativas en una o más característi-
cas de la población disminuye.
Conceptos y fórmulas clave
I. Métodos no paramétricos
1. Estos métodos se utilizan cuando los datos no se 
pueden medir en una escala cuantitativa, o cuando
2. La escala numérica de mediciones sea fi jada 
arbitrariamente por el investigador, o bien, cuando
3. Las suposiciones paramétricas tales como 
normalidad o varianza constante sean violadas 
gravemente.
II. Prueba de la suma de rango 
de Wilcoxon: muestras 
aleatorias independientes
1. Conjuntamente ordene las dos muestras. Designe 
la muestra más pequeña como muestra 1. 
Entonces
T1 � Suma de rango de la muestra 1
 T *1 � n1(n1 � n2 � 1) � T1
2. Use T1 para probar si la población 1 está a 
la izquierda de la población 2. Use T *1 para 
probar si la población 1 está a la derecha de la 
población 2. Use la menor de T1 y T
*
1 para probar 
si hay diferencia en las ubicaciones de las dos 
poblaciones.
3. La tabla 7 del apéndice I tiene valores críticos 
para el rechazo de H0.
4. Cuando los tamaños muestrales sean grandes, use 
la aproximación normal:
 mT � 
n1(n1 �
2
 n2 � 1)
s 2T � 
n1n2(n1 �
12
 n2 � 1)
 z � 
T �
sT
 mT
III. Prueba del signo para un experimento 
pareado
1. Encuentre x, el número de veces que la 
observación A exceda de la observación B para un 
par determinado.
2. Para probar si hay diferencia en dos poblaciones, 
pruebe H0 : p � .5 contra una alternativa de una 
o de dos colas.
3. Use la tabla 1 del apéndice I para calcular el valor 
p para la prueba.
4. Cuando los tamaños muestrales sean grandes, 
use la aproximación normal:
z � x � .5n ______ 
.5 �
__
 n 
 
IV. Prueba de rango con signo de 
Wilcoxon: experimento pareado
1. Calcule las diferencias en las observaciones 
pareadas. Ordene los valores absolutos 
de las diferencias. Calcule las sumas de 
rango T� y T � para las diferencias positivas 
y negativas, respectivamente. La estadística 
de prueba T es la menor de las dos sumas de 
rango.
2. La tabla 8 del apéndice I tiene valores críticos 
para el rechazo de H0 para pruebas de una y de 
dos colas.
3. Cuando los tamaños muestrales sean grandes, use 
la aproximación normal:
z � 
T � � [n(n � 1)/4]
 ____________________ 
 �
___________________
 [n(n � 1)(2n � 1)]/24 
 
REPASO DEL CAPÍTULO
[n(n � 1)(2n � 1)]/24
 REPASO DEL CAPÍTULO ❍ 667
Probabilidad_Mendenhall_15.indd 667Probabilidad_Mendenhall_15.indd 667 5/14/10 8:22:27 AM5/14/10 8:22:27 AM
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668 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
V. Prueba H de Kruskal-Wallis: diseño 
completamente aleatorizado
1. Conjuntamente ordene las n observaciones 
de las k muestras. Calcule las sumas de rango, 
Ti � suma de rango de la muestra i y el estadístico 
de prueba
H � 
n(n
1
 �
2
 1)
 S 
T
n
i
2
i
 � 3(n � 1)
2. Si la hipótesis nula de igualdad de distribuciones 
es falsa, H será inusualmente grande, resultando 
en una prueba de una cola.
3. Para tamaños muestrales de cinco o mayores, 
la región de rechazo para H está basada en la 
distribución ji cuadrada con (k � 1) grados de 
libertad.
VI. Prueba Fr de Friedman: diseño 
aleatorizado de bloques
1. Ordene las respuestas dentro de cada bloque de 1 
a k. Calcule las sumas de rango, T1, T2, …, Tk, y 
el estadístico de prueba
Fr � bk(k
1
 
2
� 1)
 S T i
2 � 3b(k � 1)
2. Si la hipótesis nula de igualdad de distribuciones 
de tratamiento es falsa, Fr será inusualmente 
grande, resultando en una prueba de una cola.
3. Para tamaños de bloques de cinco o mayores, 
la región de rechazo para Fr está basada en la 
distribución ji cuadrada con (k � 1) grados de 
libertad.
VII. Coefi ciente de correlación de rango 
de Spearman
1. Ordene las respuestas para las dos variables de 
menor a mayor.
2. Calcule el coefi ciente de correlación para las 
observaciones ordenadas:
rs � 
Sxy _______ 
 �
_____
 SxxSyy 
 o rs � 1 � n(
6
n
 
2
S
 �
 d
 
i
2
1)
si no hay empates
3. La tabla 9 del apéndice I da valores críticos 
para correlaciones de rango signifi cativamente 
diferentes de 0.
4. El coefi ciente de correlación de rango detecta 
no sólo correlación lineal signifi cativa sino también 
cualquier otra relación monotónica entre las dos 
variables.
MINITABMIMI
Procedimientos no paramétricos
Numerosos procedimientos no paramétricos están disponibles en el paquete MINITAB, 
incluyendo la mayor parte de las pruebas estudiadas en este capítulo. Los cuadros de 
diálogo son conocidos para el usuario por ahora y veremos las pruebas en el orden pre-
sentado en el capítulo.
Para poner en práctica la prueba de la suma de rango de Wilcoxon para dos muestras 
aleatorias independientes, introduzca los dos conjuntos de datos muestrales en dos co-
lumnas (por ejemplo, C1 y C2) de la hoja de trabajo MINITAB. El cuadro de diálogo de la 
figura 15.13 se genera usando Stat � Nonparametrics � Mann-Whitney. Seleccione 
C1 y C2 para la First y Second Samples e indique el coeficiente de confianza apropiado 
(para un intervalo de confianza) e hipótesis alternativa. Al hacer clic en OK se genera 
la salida de la figura 15.1.
La prueba del signo y la prueba de rango con signo de Wilcoxon para muestras pa-
readas se efectúan exactamente en la misma forma, con un cambio sólo en el último 
comando de la secuencia. Incluso los cuadros de diálogo son idénticos. Introduzca los 
datos en dos columnas de la hoja de trabajo MINITAB (usamos los datos de mezcla de 
pastel en la sección 15.5). Antes que se pueda implementar cada prueba, se debe ge-
nerar una columna de diferencias usando Calc � Calculator, como se ve en la figura 
15.14. Use Stat � Nonparametrics � 1-Sample Sign o Stat � Nonparametrics � 
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1-Sample Wilcoxon para generar el cuadro de diálogo apropiado que se ve en la fi-
gura 15.15. Recuerde que la mediana es el valor de una variable tal que 50% de los 
valores son más pequeños y 50% son más grandes. En consecuencia, si las dos distribu-
ciones poblacionales son iguales, la mediana de las diferencias será 0. Esto es equiva-
lente a la hipótesis nula
H0 : P(diferencia positiva) � P(diferencia negativa) � .5
FIGURA 15.13
●
FIGURA 15.14
●
 MI MINITAB ❍ 669
Probabilidad_Mendenhall_15.indd 669Probabilidad_Mendenhall_15.indd 669 5/14/10 8:22:27 AM5/14/10 8:22:27 AM
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	Repaso del capítulo