Matematica Unida II Estadistica

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Una empresa produce cuatro productos A, B, C y D. El productor de cada artículo requiere de cantidades específicas de dos materias primas, X e Y, y también cantidades determinadas de mano de obra. La empresa desea comparar las cantidades de materia prima y de mano de obra que se requieren en la producción semanal de estos cuatro productos. En la siguiente tabla se refleja la información de una semana.
	Producto
	A
	B
	C
	D
	Unidades de material X
	250
	300
	170
	200
	Unidades de material Y
	160
	230
	75
	120
	Unidades de mano de obra
	80
	85
	120
	100
Si se suprimen los encabezados en la tabla, los datos aparecen en forma natural en un ARREGLO rectangular:
Esta disposición práctica recibe el nombre de MATRIZ.
Una MATRIZ es un arreglo rectangular de números reales. 
Se denotan con letras mayúsculas imprentas. Los números reales que forman el arreglo se denominan ELEMENTOS DE LA MATRIZ. Los elementos dispuestos en una misma línea horizontal forman un RENGLÓN o FILA y aquellos que se encuentran en una misma línea vertical forman una COLUMNA de la matriz.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su orden o dimensión es mxn.
Ejemplo: A es una matriz de 2 filas y 3 columnas, lo que se resume diciendo que es una matriz de orden o dimensión 2x3
En general si A es una matriz de orden mxn podemos expresarla de la siguiente forma:
Otra manera de escribir la matriz anterior, en forma simbólica es:
Observaciones:
1. La matriz que posee una sola fila se denomina MATRIZ FILA.
B es una matriz de 1 fila y 5 columnas, es decir de orden 1x5.
B es una matriz fila de orden 5.
2. La matriz que posee una sola columna se denomina MATRIZ COLUMNA.
La matriz C es una matriz de 3 filas y 1 columna, es decir, una matriz de orden 3x1.
C es una matriz columna de orden 3.
3. La matriz que tiene todos sus elementos son ceros se denomina MATRIZ NULA. La denotamos con el símbolo. La matriz es una matriz nula sí y sólo si para todo i y para todo j.
Por ejemplo, una matriz nula de orden 2x3 es:
4. Dos matrices son IGUALES cuando tienen el mismo orden y coinciden elemento a elemento.
Sean matrices de orden mxn:
5. Llamamos TRASPUESTA de una matriz A y la denotamos , a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por las filas.
En símbolos: 
Ejemplo:
6. Una matriz que posee el mismo número de filas que de columnas, se conoce con el nombre de MATRIZ CUADRADA.
Si es una matriz cuadrada, los elementos i=j (esto es los elementos se denominan LOS ELEMENTOS SOBRE LA DIAGONAL PRINCIPAL de la matriz.
Ejemplo:
También en una matriz cuadrada podemos reconocer los elementos que forman la DIAGONAL SECUNDARIA.
Ejemplo:
7. Una matriz cuadrada se dice SIMÉTRICA cuando coincide con su traspuesta.
En símbolos: A es simétrica sii 
Ejemplo:
 es una matriz simétrica pues 
8. Una matriz cuadrada se denomina MATRIZ DIAGONAL si todos los elementos que no están en la diagonal principal son NULOS. A esta matriz se la denota frecuentemente por 
Donde algunos o todos los elementos pueden ser nulos.
Ejemplo:
Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente por:
9. Una matriz cuadrada se denomina MATRIZ IDENTIDAD si todos los elementos de su diagonal principal son iguales a 1 y todos los elementos fuera de su diagonal principal son iguales a cero. En general, se la simboliza con . La matriz identidad es una matriz diagonal.
En símbolos:
La matriz es matriz identidad sii para todo i=j y para todo 
Ejemplo: 
10. Si en una matriz cuadrada los elementos situados bajo la diagonal principal son nulos se denomina MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.
En símbolos: la matriz cuadrada es una matriz triangular superior sii 
Ejemplo:
11. La matriz cuadrada cuyos elementos sobre la diagonal principal son nulos se denomina MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.
En símbolos: la matriz cuadrada es una matriz triangular inferior sii 
Ejemplo:
12. Sea la matriz la MATRIZ INVERSA ADITIVA U OPUESTA DE A, que se simboliza , es la matriz que se obtiene cambiando el signo de cada elemento de A.
Simbólicamente: 
Ejemplo: 
Si entonces la matriz opuesta de A es 
13. Una matriz se denomina MATRIZ ESCALONADA, o se dice que está en forma escalonada, si cumple:
a) Todas las filas nulas (cuyos elementos son todos nulos), si las hay, están en la parte inferior de la matriz.
b) El primer elemento no nulo de una fila está a la izquierda del primer elemento no nulo de la siguiente fila.
Ejemplos:
OPERACIONES
Suma y resta de matrices
Dadas las matrices y se llama MATRIZ SUMA de A y B, a la matriz cuyos elementos son de la forma para i=1,2,…, m y j=1,2,…, n
Es decir: dos matrices A y B del mismo orden (condición de conformabilidad para la suma de matrices) pueden sumarse (o restarse) sumando (o restando) sus elementos correspondientes.
Ejemplo:
Propiedades
Si A, B y C son matrices de orden mxn y si es la matriz nula de orden mxn se cumple que:
1. La suma de matrices es asociativa: (A+B)+C = A+ (B+C)
2. La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + C
3. La matriz nula es el elemento neutro de las matrices: A+ = +A
Producto de un número real por una matriz
Dada la matriz y el número real k se llama PRODUCTO DE LA MATRIZ A POR EL NÙMERO REAL k a la matriz donde para todo i=1,2,…, m
Es decir, para multiplicar un número real por una matriz se multiplica por él cada elemento de la matriz.
Ejemplo:
Propiedades
Si A y B son matrices de orden mxn, y si c y k son números reales se cumple:
1. k. (A+B) = k. A + k. B
2. (k + c).A = k. A + c. A
3. k. c. A = k. (c .A) = c. (k. A)
4. k. A = A. k
Producto de matrices
El producto de matrices no es tan simple de definir como las dos operaciones anteriores, por ello debemos ver primero el producto de dos matrices especiales.
Producto de una matriz fila por una matriz columna
Sea A una matriz fila de orden n y B una matriz columna de orden n. El producto A. B es un número que se obtiene multiplicando los elementos correspondientes en A y B y después encontrando la suma de estos n productos.
En símbolos:
Ejemplo:
Producto de matrices
Dos matrices cualesquiera no se pueden multiplicar. Para poder efectuar el producto de dos matrices se debe cumplir que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda, lo que se denomina CONDICIÓN DE CONFORMABILIDAD DEL PRODUCTO DE MATRICES.
	Orden de A
	
	Orden de B
	mxn
	
	nxp
	
	Igual a
	
	
	
	
	
	El orden de A.B es mxp
	
El producto de es otra matriz C de orden mxp (pues tiene tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B), cuyos elementos se obtienen del siguiente modo:
 es un elemento genérico de la matriz C que se obtuvo multiplicando la fila i de A por la columna j de B, i= 1,2,…, m y j=1,2,…, p
Para multiplicar dos matrices que cumplan la condición de conformabilidad, multiplicaremos cada una de las filas de la primera por cada una de las columnas de la segunda.
Ejemplo: Dadas las matrices A y B, hallemos A. B
La matriz C = A. B será de orden 2x2. Para calcular sus elementos utilizamos la siguiente disposición práctica:
Propiedades del producto de matrices
Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz inversa de A, se simboliza , es la matriz que cumple:
Donde es la matriz identidad de orden n.
Ejemplo: Comprueba que la matriz inversa de 
No toda matriz cuadrada tiene matriz inversa.
Una matriz A se dice INVERSIBLE o NO SINGULAR si tiene inversa. Si A no tiene inversa, se dice que es una matriz SINGULAR.
La matriz A del ejemplo anterior es una matriz singular.
Determinante de una matriz cuadrada
Los determinantes son instrumentos muy útiles y veremos en qué consiste este instrumento y cómo se utiliza.
El determinante de una matriz cuadrada A es un número real que se obtiene a partir de los elementos de A.
Se simboliza .
Regla de SARRUS
1) El determinante de una matriz de orden 2 está definido por la expresión:
2) Como regla práctica para el cálculo del determinante de matriz de orden 3, usando la regla de Sarrus,se agregan las dos primeras columnas (o las dos primeras filas). Así el determinante de una matriz de orden 3 está definido por la siguiente expresión:
Método de Inversión Matricial
Forma matricial de un SEL
En clases.
Practica.
}
Ejercicio 19: Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y silla, y cada una de ellas de tres modelos: E (económico), M (medio) y L (lujo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 modelos M y 10 modelos L de