Derivadas parciales ( limites y continuidad)

Vista previa del material en texto

Sección 14.2 Límites y continuidad 
1 
 
CALCULO 2: Ejercicios resueltos 
A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos en relación a los temas trabajados en la 
sección 14.2 para que éstos sirvan de modelo a la hora de desarrollar los ejercicios propuestos. 
Al calcular un límite, debemos tener en cuenta algunas cosas: 
- Si es una función polinómica, el límite lo obtengo directamente reemplazando. 
- Si no es una función polinómica, y al reemplazar llego a una indeterminación, puedo intentar 
factorizar de manera de simplificar denominadores, y una vez hecho esto, sí reemplazar y 
hallar el valor del límite. 
- Si al factorizar no logro solucionar el problema, es decir que continúo teniendo 
indeterminaciones, lo mejor es acercarme al punto en cuestión por distintas trayectorias. Si 
dos trayectorias me llevan a distintos resultados, el límite no existe. Si varios caminos me 
llevan al mismo resultado, debo demostrar formalmente que ese es el límite. 
 
Ejercicio: Dadas las funciones, calcular los siguientes límites, si existen: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥4−4𝑦4
𝑥2+2𝑦2
 ; lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) 
Debemos hallar, si existe: 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4 − 4𝑦4
𝑥2 + 2𝑦2
 
Observemos que si reemplazamos x e y por 0 llegamos a una indeterminación “cero sobre cero”. 
Observemos también, que el numerador puede ser factorizado como una diferencia de cuadrados: 
𝑥4 − 4𝑦4 = (𝑥2 − 2𝑦2)(𝑥2 + 2𝑦2) entonces podemos simplificar y luego reemplazar x e y por 0: 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4 − 4𝑦4
𝑥2 + 2𝑦2
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2 − 2𝑦2)(𝑥2 + 2𝑦2) 
(𝑥2 + 2𝑦2)
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2 − 2𝑦2 = 0 
Por lo tanto lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−4𝑦4
𝑥2+2𝑦2
= 0 
 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
𝑥2+ 𝑦2
 ; lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
Debemos hallar, si existe: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
 
Sección 14.2 Límites y continuidad 
2 
 
Observemos que no podemos reemplazar directamente porque llegamos a una indeterminación. 
Tampoco hay manera de factorizar que nos pueda ayudar. Probemos tomando distintas trayectorias, 
que pasen por el (0,0): 
- Si nos acercamos al (0,0) por el eje x, esto es, por la recta 𝑦 = 0, tenemos 𝑓(𝑥, 0) =
0
𝑥2
= 0 
Y por lo tanto 𝑓(𝑥, 𝑦) → 0 cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) por el eje x. 
- Si nos acercamos al (0,0) por el eje y, esto es, por la recta 𝑥 = 0, tenemos 𝑓(0, 𝑦) =
0
𝑦2
= 0 
Y por lo tanto 𝑓(𝑥, 𝑦) → 0 cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) por el eje y. 
- Si nos acercamos al (0,0) por la recta 𝑦 = 𝑥 tenemos 𝑓(𝑥, 𝑥) =
𝑥2
𝑥2+𝑥2
=
𝑥2
2𝑥2
=
1
2
 
Y por lo tanto 𝑓(𝑥, 𝑦) →
1
2
 cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) por la recta 𝑦 = 𝑥. 
Así, como trayectorias distintas conducen a resultados distintos, concluimos que el límite pedido no 
existe. 
Observar que aunque las dos primeras trayectorias que tomamos daban el mismo valor, no fue ese el 
valor del límite, es más, no existe el límite. Siempre es conveniente probar con una tercera o cuarta 
trayectoria. 
 
Para analizar la continuidad de una función, podemos mirar la definición 4 de la página 897 de la 
siguiente manera: 
Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) de dos variables se llama continua en (𝑎, 𝑏) si se satisfacen las siguientes 
condiciones: 
- 𝑓(𝑎, 𝑏) existe, está definida, 
- 𝑙𝑖𝑚
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) existe, 
- 𝑙𝑖𝑚
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) 
Ejercicio: Analizar la continuidad de 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥4−4𝑦4
𝑥2+2𝑦2 
 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 en el punto (0,0) 
Respondamos a las siguientes preguntas: 
- 𝑓(0,0) existe, está definida? La respuesta es si, la definición me dice que en (0,0) vale 1. 
- 𝑙𝑖𝑚
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) existe? Si, existe y es cero, lo trabajamos en el primer ejemplo. 
- 𝑙𝑖𝑚
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, , 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)? Claramente la respuesta es no. 
Por lo tanto, al no cumplirse una de las tres condiciones, la función no es continua en (0,0)