F_Formulario_conicas

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GENERALIDADES ECUACIÓN E. TANGENTE E. NORMAL ASÍNTOTAS PARTICULARIDADES 
C
IR
C
U
N
F
E
R
E
N
C
IA
 
 
Centro: C(a, b) 
r ≡dCP: radio 
 
( ) ( )22 byaxr −+−=
 
A=- 2a B= -2b 
 
C= a2 + b2- r2 
 
 
(x-a)2+(y-b)2=r2 
 
 
x2 + y2 +Ax + By + C=0 
 
Si C(0, 0): 
x2 + y2 = r2 
E. Tangente 
( )0
0
0
0 xxby
ax
yy −
−
−
−=−
 
Otra forma: 
( )0
0
0
0 xxy
x
yy −−=− 
 
Potencia: 
Pot(Q)= (x-a)2+(y-b)2- r2 
 
Si dQO = r 
Pot(Q)= d2 – r2 
 
Eje radical: 
(A-A’)x + (B-B’)y + 
(C-C’) = 0 
 
Vértices: A, A’, B, B’ 
Focos: F, F’ 
d + d’ = 2a 
Eje mayor: 2a 
Eje menor: 2b 
FF’= 2c; OF=OF’=c 
e=
a
c
<1; a2 = b2 + c2 
e: excentricidad 
 
PF + PF’ = 2a 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
 
 
E. Tangente 
( )0
0
2
0
2
0 xx
ya
xb
yy −−=− 
Otra forma: 
1
b
y·y
a
x·x
2
0
2
0 =+ 
E. Normal 
( )0
0
2
0
2
0 xx
xb
ya
yy −=− 
 
 
Coordenadas: 
 
O(0, 0) 
A(a, 0); A’(-a, 0) 
B(0, b); B’(0, -b) 
F(c, 0); F’(-c, 0) 
 
 
O(0, 0) 
A(0, a); A’(0, -a) 
B(b, 0); B’(-b, 0) 
F(0, c); F’(0, -c) 
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ 
E
L
IP
S
E
 
 
O(0, 0); O’(h,k) 
 
A(h+a, k); A’(h-a, k) 
B(h, k+b); B’(h, k-b) 
F(h+c, k); F’(h-c, k) 
( ) ( )
1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
 
 
 
O(0, 0); O’(h,k) 
 
A(h, k+a); A’(h, k-a) 
B(h+b, k); B’(h-b, k) 
F(h, k+c); F’(h, k-c) 
( ) ( )
1
a
ky
b
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
 
 
Vértices: A, A’, B, B’ 
Focos: F, F’ 
Eje real AA’= 2a 
Eje imaginario:BB’= 2b 
FF’= 2c; OF=OF’=c 
e=
a
c
>1; c2 = a2 + b2 
e: excentricidad 
d + d’ = 2a 
 
 
PF - PF’ = 2a 
 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− 
E. Tangente 
( )0
0
2
0
2
0 xx
ya
xb
yy −=− 
Otra forma: 
1
b
y·y
a
x·x
2
0
2
0 =− 
E. Normal 
( )0
0
2
0
2
0 xx
xb
ya
yy −−=− 
x
a
b
y ±= 
Coordenadas: 
 
O(0, 0) 
A(a, 0); A’(-a, 0) 
B(0, b); B’(0, -b) 
F(c, 0); F’(-c, 0) 
H
IP
É
R
B
O
L
A
 
 
O(0, 0) 
A(0, a); A’(0, -a) 
B(b, 0); B’(-b, 0) 
F(0, c); F’(0, -c) 
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=− 
 
O(0, 0); O’(h,k) 
 
A(h, k+a); A’(h, k-a) 
B(h+b, k); B’(h-b, k) 
F(h, k+c); F’(h, k-c) 
( ) ( )
1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
−
−
 
 
O(0, 0); O’(h,k) 
 
A(h, k+a); A’(h, k-a) 
B(h+b, k); B’(h-b, k) 
F(h, k+c); F’(h, k-c) 
( ) ( )
1
b
hx
a
ky
2
2
2
2
=
−
−
−
 
 
 
 
Hipérbola 
equilátera 
 
a= b 
 
c2 = 2a2 
 c= a 2 
x2 – y2 = a2 y = ± x 
 
 
F: foco (
2
p
, 0) 
V: vértice (0, 0) 
Parámetro: p = FD’ 
D’(-
2
p
, 0) 
FV= VD’ = 
2
p
 
Eje y = 0 
DD’: directriz. 
Ecuación directriz: 
2
p
x −= 
 
 
PM= PF 
 
 
y2 = 2px 
E. tangente: 
 
( )0
0
0 xxy
p
yy −=− 
 
Otra forma: 
( )00 xxpyy +=⋅ 
 
Si p<0: 
 
F: foco (-
2
p
, 0) 
D’(
2
p
, 0) 
Ecuación directriz: 
2
p
x −= 
 
V: vértice (0, 0) 
Ecuación directriz: 
2
p
y −= 
F: foco (0, 
2
p
) 
D’(0, -
2
p
) 
Eje: x = 0 
x2 = 2py 
Si p<0: 
F: foco (0, -
2
p
) 
D’(0, 
2
p
) 
Ecuación directriz: 
2
p
y = 
P
A
R
Á
B
O
L
A
 
 
F: foco (m+
2
p
, n) 
V:vértice ≡O’(m, n) 
Parámetro: p = FD’ 
D’(m-
2
p
, n) 
FV= VD’ = 
2
p
 
Ecuación directriz: 
2
p
mx −= 
Eje: y= n 
(y – n)2 = 2p(x – m) 
 
 
F: foco (m, n + 
2
p
) 
V:vértice ≡O’(m, n) 
Parámetro: p = FD’ 
D’(m, n - 
2
p
) 
FV= VD’ = 
2
p
 
Ecuación directriz: 
2
p
ny −= 
Eje: y= n 
(x – m)2 = 2p(y- n) 
 
Otra forma: 
y= ax2 + bx + c 
 
Siendo: 
p
m
b;
p2
1
a −== 
p2
m
nc
2
+= 
 
 
Ecuación general de las cónicas 
 
La ecuación general de las cónicas es: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 
Según sean los valores de A y B, se pueden identificar las distintas cónicas: 
 
1. Si A = B ≠ 0 …………………………………… La cónica es una CIRCUNFERENCIA 
 
2. Si A ≠ B ≠ 0: 
•••• Signo de A = Signo de B ………………… ELIPSE 
•••• Signo de A ≠ Signo de B ………………… HIPÉRBOLA 
 
3. Si A = 0 ó B = 0 ……………………………… PARÁBOLA 
 
4. Si A = B = 0 ……………………………………. RECTA 
 
Estudio de la excentricidad 
 Se define la excentricidad de una cónica como el cociente: 
a
c
e = . Los distintos valores de e nos sirven también para identificar las cónicas: 
1. Si e = 0 → c = 0; por tanto los focos coinciden y a2 ± b2 = 0 → a = b ………… CIRCUNFERENCIA. 
2. Si e < 1 ………………………………………………………………………… ELIPSE. 
3. Si e = 1 → c = a → a2 = b2 + c2 → b = 0 ……………………………………... RECTA. 
4. e > 1 ……………………………………………………………………………. HIPÉRBOLA.