S5 s2- Transformada de Laplace

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 03
La transformada de Laplace
Semana 5 Sesión 02 
TEMA: La transformada de Laplace, linealidad y la 
transformada de funciones elementales
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante reconoce e 
interpreta la transformada de Laplace.
Logro de la Sesión
Contenido general
La transformada de Laplace
Orden exponencial
Condiciones suficientes para la existencia
Transformada de Laplace de funciones elementales
Linealidad
Datos/Observaciones
UTILIDAD:
Consideremos el circuito L-R en serie 
con tensión eléctrica constante 
E(t)=E . 
Segunda ley de Kirchoff: la suma de caída de voltajes a través del 
inductor y del resistor es igual a la tensión E aplicada al circuito 
obteniendo la Ecuación diferencial 
La Transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una 
E. algebraica
𝑅 𝐼(𝑠) + 𝐿 𝑠 𝐼(𝑠) =
𝐸
𝑠
𝑖(𝑡)𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐸
Sea 𝑓(𝑡) una función definida para 𝑡 ≥ 0, la expresión 
es denominada transformada de Laplace de 𝑓(𝑡), si la integral existe 
La transformada de Laplace
ℒ 𝑓(𝑡) = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
Observaciones
1.- La transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡) es una función de s:
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠).
2.– A la expresión 𝑒−𝑠𝑡 que acompaña a la función 𝑓(𝑡) se le conoce 
como núcleo de la función transformada.
3.- Para denotar la transformada de una función se utiliza letras 
mayúsculas y para la función que se transforma la letra minúscula 
correspondiente.
Datos/Observaciones
Ejercicio explicativo 1:
Solución
Calcular mediante 
definición : ℒ{1}(𝑠)
Calcular mediante 
definición : ℒ {𝑒𝑎𝑡}(𝑠)
Solución
Datos/Observaciones
Ejercicio explicativo 2:
Solución
Utilizando la definición, calcule la transformada de Laplace para 
𝑓 𝑡 = 𝑡2.
●La función 𝑓(𝑡) es Continua por 
tramos en [0,∞> si 𝑓(𝑡) es 
continua por tramos en cada sub 
intervalo acotado de la forma 
[0;N]; N>0 .
●La función 𝑓(𝑡) es de orden 
exponencial "𝑐" si existen constantes 
𝑀 > 0; 𝑇 > 0 tal que 
𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝑐𝑡 ; ∀𝑡 > 𝑇 .
“Si 𝑓(𝑡) es Continua por tramos en [0,∞> y de orden exponencial “c” 
entonces ℒ{𝑓 𝑡 } existe para 𝑠 > 𝑐”.
Condiciones suficientes para la existencia de ℒ{𝑓 𝑡 }
Solución :
Ejercicio explicativo 3:
Calcule la transformada de Laplace de: 𝑓 𝑡 = ቐ
𝑡; 0 ≤ 𝑡 < 1
1; 1 ≤ 𝑡 < 2
0; 2 ≤ 𝑡
.
Transformada de Laplace de funciones elementales
Linealidad
Sea 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones continuas por partes y de orden exponencial, entonces 
para 𝛼 y 𝛽 constantes se cumple que :
Es decir ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠) es una transformación lineal 
ℒ 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔(𝑡) = 𝛼ℒ 𝑓(𝑡) + 𝛽ℒ 𝑔(𝑡)
EJERCICIO EXPLICATIVO 4:
Determine la transformada de Laplace para 𝑓 𝑡 = 6 + 4𝑒2𝑡 − 3𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 2𝑡3.
Solución
EJERCICIO EXPLICATIVO 5
Solución
Determine la transformada de Laplace para la función 
𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 cos 2𝑡 + cos 7𝑡 cos(4𝑡).
EJERCICIO EXPLICATIVO 6
Determine la transformada de Laplace para la función 
𝑓 𝑡 = 4 𝑐𝑜𝑠2 2𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛2(6𝑡).
Solución
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Determine la transformada de Laplace para la función :
𝑓 𝑡 = ቊ
0; 0 ≤ 𝑡 < 4
3; 4 ≤ 𝑡
.
EJERCICIOS PROPUESTOS
.r= -1/2 + 2 i 
1.- Use la definición para determinar la transformada de Laplace de las 
funciones: 
a) f t = 𝑒6𝑡
c) 𝑓 𝑡 = ቊ
0 0 < 𝑡 < 2
𝑡 2 < 𝑡
b) f t = 𝑡𝑒3𝑡
d) 𝑓 𝑡 = ቊ𝑒
2𝑡 0 < 𝑡 < 3
1 3 < 𝑡
2.- Use la tabla de transformada de Laplace y la linealidad para determinar la 
transformada de Laplace de las funciones: 
a) f t = 5𝑒6𝑡 − 𝑡3 + 3𝑡 + 9 b) f t = 3𝑒 7𝑡 − 4cos( 11 𝑡)
c) f t = 5𝑡 − 4𝑐𝑜𝑠2 4𝑡 − (𝑡 − 2)3
CONCLUSIONES:
1.- La transformada de Laplace es un operador que transforma funciones de un 
dominio 𝑡 en funciones de un dominio s.
2.- La transformada de Laplace de una función f(t) existe si …………
3.- La transformada de Laplace es una transformación lineal debido a la 
linealidad de la integral.
4.-La transformada de Laplace para funciones elementales son:
Transformada de Laplace