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Productos notables Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.1 Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados Factor común Cuadrado de un binomio Producto de binomios con un término común Dos binomios con un término común Tres binomios con término común Binomios con un término común Producto de dos binomios conjugados Cuadrado de un polinomio Cubo de un binomio Identidad de Argand Identidades de Gauss Identidades de Legendre Identidades de Lagrange Otras identidades Véase también Notas Referencias Bibliografía El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva: En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es , es decir, el producto de la base por la altura , también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y Índice Factor común Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon. Cuadrado de un binomio https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1tica) https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n) https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_perfecto https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio_conjugado https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FactorComun.svg Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando: Demostración La expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es: Demostración Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso en induciendo en abundantes errores. El caso . Finalmente . Ejemplo: Simplificando: Ilustración gráfica del binomio al cuadrado. Producto de binomios con un término común Dos binomios con un término común https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio https://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio_cuadrado_perfecto https://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Binomio_al_cuadrado.svg Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente: Demostración Ejemplo: Fórmula general: Fórmula general: Véase también: Conjugado (matemática) Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. Ejemplo: Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común. Tres binomios con término común Binomios con un término común Producto de dos binomios conjugados Producto de binomios conjugados. https://es.wikipedia.org/wiki/Conjugado_(matem%C3%A1tica) https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_cuadrados https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Termino_comun.svg https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Diferencia_de_cuadrados.svg Agrupando términos: A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia. En el caso ,n 1 aparecen polinomios. Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. Ejemplo: Multiplicando los monomios: Agrupando términos: Luego: Romper moldes Cuadrado de un polinomio Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_por_la_diferencia&action=edit&redlink=1 https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio https://es.wikipedia.org/wiki/Monomio https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg .n 2 Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente: El cubo del primer término. El triple producto del cuadrado del primero por el segundo. El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. El cubo del segundo término. Identidades de Cauchy: Ejemplo: Agrupando términos: Si la operación del binomio implica resta, el resultado es: El cubo del primer término. Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. Menos el cubo del segundo término. Identidades de Cauchy: Ejemplo: Agrupando términos: Cubo de un binomio Descomposición volumétrica del binomio al cubo. Identidad de Argand https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Binomio_al_cubo.svg Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan: Adición de cubos: Diferencia de cubos: Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo). La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn). Suma de dos cuadrados Dónde i es la unidad imaginaria (√-1) Identidades de Gauss Identidades de Legendre Identidades de Lagrange Otras identidades https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n Demostración Suma de potencias enésimas: Si –sólo si– n es impar, Diferencia de potencias enésimas: Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio. Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmulan 3 ingeniosa: Binomio Trinomio Factorización Triángulo de Pascal Cocientes notables Completar el cuadrado 1. Ya no se está ante binomios conjugados. El nombre clásico e histórico es «diferencia de cuadrados». 2. Hay que multiplicar en el primer miembro. Luego tantear y poner como el cuadrado de un trinomio. 3. En Aritmética elemental de Enzo Gentile, hay un problema con su respectiva sugerencia 1. Baldor, Aurelio (19 de junio de 1941). «VI». Álgebra de Baldor. Grupo Editoria mierdin l Patria. p. 97. Wentworth, George Albert; Smith, David Eugene (1980). Elementos de álgebra (https://books.google.es/books?i d=9N49AAAACAAJ) (2ª edición). Boston: Porrúa. p. 458. ISBN 9789684325296. Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&oldid=118700700» Esta página se editó por última vez el 30 ago 2019 a las 02:55. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; pueden aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio, usted acepta nuestros términos de uso y nuestra política de privacidad. Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro. Véase también Notas Referencias Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica) https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra) https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n) https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio https://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal https://es.wikipedia.org/wiki/Cocientes_notables https://es.wikipedia.org/wiki/Completar_el_cuadrado https://es.wikipedia.org/wiki/Enzo_Gentile https://es.wikipedia.org/wiki/Aurelio_Baldor https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Baldor https://books.google.es/books?id=9N49AAAACAAJhttps://es.wikipedia.org/wiki/ISBN https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9789684325296 https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&oldid=118700700 https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported https://wikimediafoundation.org/wiki/Terms_of_Use https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy https://www.wikimediafoundation.org/
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