Álgebra Funciones Reales - 1ra Parte ]

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FUNCIONES REALES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
2 de abril de 2017
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FUNCIONES REALES
N
Introduccio´n
Cada nu´mero de seguro social se relaciona con una persona;
cada automo´vil registrado en el Peru´ con su nu´mero de placa,
cada estudiante del CEPRE-UNI con su co´digo de matr´ıcula,
cada estado tiene un gobernador; estos son algunos ejemplos de
relaciones que se presentan en nuestra sociedad. Las relaciones
que asocian objetos de un conjunto con un u´nico elemento de
otro conjunto, son las relaciones que nos interesan en esta sesio´n,
este tipo particular de relaciones son las funciones.
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FUNCIONES REALES
N
Definicio´n
Funcio´n
Dados los conjuntos no vac´ıos A y B, se dice que f es una
funcio´n de A en B si f satisface las siguientes condiciones:
f es un subconjunto de A×B.
Si (a; b) ∈ f y (a; c) ∈ f , entonces b = c
Una funcio´n es un conjunto de pares ordenados en el cual no
existen dos pares ordenados distintos que tienen el mismo primer
elemento.
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FUNCIONES REALES
N
Ejemplo 1
Tomemos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d, e}
f = {(1; b), (2; a), (3; d)}. Si es una funcio´n
A B
1
2
3
a
b
c
d
e
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FUNCIONES REALES
N
f = {(1; e), (2; a), (2; d), (3; c)}. No es una funcio´n
A B
1
2
3
a
b
c
d
e
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FUNCIONES REALES
N
Ejemplo 2.
Sea f la funcio´n definida por
f = {(1; 2), (2; 2), (3; 5), (4; 6), (2; a− b), (4; 3a+ 2b)}
Halle f(2a− b)
Como f es una funcio´n: {
a− b = 2
3a+ 2b = 6
de donde a = 2 y b = 0, con esto 2a− b = 4.
Por lo tanto f(4) = 6.
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FUNCIONES REALES
N
Dominio y Rango
Sea f una funcio´n de A en B.
Dominio
El dominio de f denotado por Df es el conjunto de las primeras
coordenadas de los elementos de f , esto es:
Df = {x ∈ A/(x, y0) ∈ f para algu´n y0 ∈ B}.
Rango
El rango de f denotado por Rf es el conjunto de las segundas
coordenadas de los elementos de f , esto es:
Rf = {y ∈ B/(x0, y) ∈ f para algu´n x0 ∈ A}
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FUNCIONES REALES
N
Notacio´n
Si f es una funcio´n de A en B tal que Df = A y regla de
correspondencia y = f(x), sera´ denotado as´ı
f : A −→ B
x 7−→ y = f(x)
Funcio´n real
Sea f una funcio´n de A en R. Si A ⊂ R se dice que f es una
funcio´n real de variable real.
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FUNCIONES REALES
N
Ejemplo
Ejemplo 1.
Determine el rango de una funcio´n f de Q+ en Q tal que
f = {(7;√x), (7; 2x), (x; 4x), (x2;x), (x3;x)}
Como f es una funcio´n tenemos que 2x =
√
x, de donde
x = 0 ∨ x = 1/4. Si evaluamos x = 0 en f , obtenemos
f = {(7; 0), (0; 0)}
que no cumple la condicio´n inicial, entonces no es la funcio´n que
buscamos. Ahora evaluamos x = 1/4 en f y obtenemos
f = {(7; 1/2), (1/4; 1), (1/16; 1/4), (1/64; 1/4)}
que cumple la condicio´n inicial, con esto tenemos que
Rf = {1/2; 1; 1/4}.
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FUNCIONES REALES
N
Ejemplo
Ejemplo 2.
Determinar el dominio natural de la funcio´n
f(x) =
√
x− 1
6−√x− 1 +
3−√2− x
5− x + 3x+ 1
Analizando la existencia de
√
2− x y √x− 1, tenemos que
2− x ≥ 0⇒ x ≤ 2
x− 1 ≥ 0⇒ x ≥ 1
de donde x ∈ [1; 2]. Ahora analizando cada sumando de la
expresio´n subradical con los valores de x obtenidos, tenemos que
son positivos. Por lo tanto Df = [1; 2]
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FUNCIONES REALES
N
Gra´fica de una funcio´n
La gra´fica de una funcio´n f : A ⊂ R → R denotada por Gr(f)
es el conjunto
Gr(f) = {(x, f(x)) ∈ R2/x ∈ A}
y
x
0 Dominio
R
an
go
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FUNCIONES REALES
N
¿Cua´l de las siguientes gra´ficas representa una funcio´n?
y
x
y
x
NO SI
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n constante
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = c
−2 −1 1 2
y
x
−1
1
2
0
c > 0
Figura: Df = R y Rf = {c} 13 / 27FUNCIONES REALESN
Funcio´n af´ın
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = mx+ b
−2 −1 1 2 3 4
y
x
−1
1
2
3
0
(0,b)
f (si m > 0)
Figura: Df = R y Rf = R
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N
Funcio´n lineal
Una funcio´n lineal f : R → R es aquella funcio´n que satisface
las siguientes dos propiedades:
i) Propiedad aditiva: Para todo x1, x2 ∈ R
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
ii) Propiedad homoge´nea: Para todo λ, x ∈ R
f(λx) = λf(x)
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n lineal
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = mx
−1 1 2 3
y
x
−1
1
2
0
f(x)=mx
θ
Figura: Df = R y Rf = R 16 / 27FUNCIONES REALESN
Funcio´n identidad
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x
−1 1 2 3
y
x
−1
1
2
0
f(x)=x
45◦
Figura: Df = R y Rf = R
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N
Funcio´n valor absoluto
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = |x| =
{
x, x ≥ 0
−x, x < 0
−2 −1 1 2 3
y
x
−1
1
2
0
f(x)=xf(x)=-x
45◦
Figura: Df = R y Rf = [0,∞〉
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n ra´ız cuadrada
f : [0,+∞〉 −→ R
x 7−→ f(x) = √x
y
x
−1 1 2 3
−1
1
2
3
0
f(x) =
√
x
Figura: Df = [0,+∞〉 y Rf = [0,+∞〉
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n cu´bica
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x3
y
x
−1 1 2 3
−1
1
2
0
f(x) = x3
Figura: Df = R y Rf = R
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n signo
Sgn : R −→ R
x 7−→ Sgn(x) =

−1, x < 0
0, x = 0
1, x > 0
y
x
−2 −1 1
−1
1
2
0
Sgn(x)
Figura: Df = R y Rf = {−1, 0, 1}
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n de Dirichlet
f : R −→ R
x 7−→ f(x) =
{
1, x ∈ Q
x+ 2, x ∈ I
y
x
−2 −1 1 2
−1
1
2
0
Q
I
Figura: Df = R y Rf = I ∪ {1}
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n rec´ıproca
f(x) : R− {0} −→ R
x 7−→ f(x) = 1
x
y
x
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
0
f(x) = 1x
Figura: Df = R− {0} y Rf = R− {0}
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FUNCIONES REALES
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Funcio´n cuadra´tica
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x2
y
x
−2 −1 1 2 3
1
2
0
f(x) = x2
Df = R y Rf = [0,+∞〉
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FUNCIONES REALES
N
Funcio´n cuadra´tica general
Su expresio´n general es f(x) = a
(
x+ b2a
)2
+ 4ac−b
2
4a
y su gra´fica es
a > 0
y
x
h =
−b
2a
k = −∆
4a
Df = R y Rf = [k,+∞〉, donde ∆ = b2 − 4ac.
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N
Ejemplo I
¿Cua´les de los siguientes conjuntos son funciones?
M = {(2x− 1, x)/x ∈ R}
T = {(x2, x)/x ∈ R}
Solucio´n
M = {(2x− 1, x)/x ∈ R} = {(x, y)/x ∈ R, y = x+12 }
entonces M es la funcio´n af´ın f(x) = x+12 .
T = {(x2, x)/x ∈ R}, no es funcio´n; no´tese que
(4; 2) ∈ T ∧ (4;−2) ∈ T
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FUNCIONES REALES
N
Material de Estudio
Ejercicio 166
Determine el rango de la siguiente funcio´n
f(x) =
x2 − x+ 4
x− 1 ; x > 1
Ejercicio 170
Determine el rango de la funcio´n f(x) = −
√
2x−√x; x ∈
[1; 9]
Ejercicio 171
Determine el rango de la funcio´n f(x) = (|x−5|+x+1)√5− x
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