Álgebra Función Polinomial

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FUNCIÓN POLINOMIAL
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
20 de noviembre de 2017
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FUNCIÓN POLINOMIAL
N
FUNCIÓN POLINOMIAL
Función Polinomial
Definición: Función Polinomial
Una función p : R → R se dirá polinomial cuando su regla de
correspondencia es de la forma
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + · · ·+ anxn
donde a0, a1, · · · an son números reales, con an 6= 0.
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FUNCIÓN POLINOMIAL
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FUNCIÓN POLINOMIAL
Cero o ráız de un polinomio
Definición: Cero o ráız
Diremos que r ∈ C es un cero de la función polinomial p(x) ∈
R[x] cuando p(r) = 0.
Teorema:
r ∈ C es un cero del polinomio p(x) si y solo si p(x) es divisible
por (x− r).
Este resultado es consecuencia inmediata del algoritmo de la
división y el teorema del resto.
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FUNCIÓN POLINOMIAL
N
FUNCIÓN POLINOMIAL
Cero o ráız de un polinomio
Definición: Multiplicidad de ráıces.
Diremos que el cero r de un polinomio p(x) es de multiplicidad
n ∈ N, cuando
p(x) = (x− r)nq(x) y q(r) 6= 0.
Ejemplo
Si p(x) = 8x2(x− 5)4(x + 7)9(x− 6), entonces:
0 es un cero de p(x) de multiplicidad 2.
5 es un cero de p(x) de multiplicidad 4.
−7 es un cero de p(x) de multiplicidad 9.
6 es un cero de p(x) multiplicidad 1.
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ESBOZO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
Esbozo de una función polinomial
El gráfica de una función polinomial es suave y cont́ınua, por
suave queremos decir que su gráfica no tiene esquinas ni puntas
(cúspides), cont́ınua significa que su gráfica no tiene cortes ni
saltos y que puede ser dibujada sin interrupciones.
Cuspide
No es función polinomial No es función polinomial Si es función polinomial
Disconitinuidad
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ESBOZO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
Ceros de multiplicidad
Si r es un cero de multiplicidad n de un polinomio p(x), entonces:
1) Si n es impar, la gráfi-
ca de p interseca al eje x
en el punto (r, 0).
2) Si n es par, la gráfica
de p es tangente al eje x
en el punto (r; 0).
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ESBOZO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
Ejemplo
Si el polinomio tiene ráıces simples (Multiplicidad uno)
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ESBOZO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
Ejemplo
Si el polinomio tiene ráıces multiples
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Teorema fundamental del álgebra
Teorema: de D’Alambert
Toda función polinomial de grado n ∈ N con coeficientes reales,
tiene al menos una ráız en C.
Teorema: Fundamental del álgebra
Toda función polinomial de grado n ∈ N con coeficientes reales,
tiene n ráıces en C (contando sus multiplicidades).
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Teorema fundamental del álgebra
Ejemplo
Dado el polinomio p(x) = 9(x− 4)2(x− 5)4(x + 2)(x2 + 3).
Vemos que el polinomio es de grado nueve y sus ráıces son:
4, 4, 5, 5, 5, 5,−2,
√
3i,−
√
3i
Teorema:
Sea p una función polinomial de coeficientes reales. Suponga que
a + b
√
c es una ráız de p, donde a, b y c son racionales y
√
c es
irracional. Entonces a− b
√
c también una ráız de p.
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Localización de ráıces
Teorema: del Cero
Sea p una función polinomial. Si a y b son números reales dife-
rentes tales que (p(a)p(b) < 0), entonces p tiene por lo menos
una ráız real entre a y b.
Esto se interpreta gráficamente aśı:
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Localización de ráıces
Ejemplo
Si p(x) = x5 + 10x − 1, verifique que existe r ∈ 〈0; 1〉 tal que
p(r) = 0. ¿Es única ?
Solución: Vemos que p(0) = −1 y p(1) = 10, de esto tenemos que
p(0)p(1) < 0, entonces por el teorema de Bolzano, existe r ∈ 〈0; 1〉
tal que p(r) = 0.
Para ver si es o no la única ráız real, procedemos como sigue:
p(x) = 0 ⇒ x5 = −10x + 1
denotando por f(x) = x5 y por g(x) = −10x + 1
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Teorema de localización de ráıces
y graficando f y g, vemos que r es la única ráız de p
Teorema:
Toda función polinomial de grado impar con coeficientes reales
tiene por por lo menos una ráız real.
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Regla de signos de Descartes
Regla de signos de Descartes
Teorema: Regla de signos de Descartes
Sea p una función polinomial ordenada en forma decreciente con
término independiente diferente de cero. Entonces:
1. (a) El número de ráıces positivas de p es igual al número de
variaciones de signo de los coeficientes de p(x) o es menor que
este número, en una cantidad par.
2. (b) El número de ráıces negativas de p es igual al número
variaciones de signo de los coeficientes de p(−x) o es menor que
este número, en una cantidad par.
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Regla de signos de Descartes
Regla de signos de Descartes
Ejemplo
Analizar por Descartes p(x) = x4 − 9x3 + 5x2 + 10x− 18
Solución: Para las ráıces positivas:
1 2 3
Hay tres variaciones, entonces el número de ráıces positivas puede
ser 3 o 1.
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Regla de signos de Descartes
Regla de signos de Descartes
Para las ráıces negativas:
1
Hay una variación, entonces el número de ráıces reales negativa
solo puede ser una.
Para resumir hacemos la siguiente tabla
R(+) R(−) C
3 1 0
1 1 2
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Relacion de ráıces y coeficientes
Relacion de ráıces y coeficientes
Teorema: Cardano-Viette
Sea p(x) = a0+a1x+a2x
2+ · · ·+an−1xn−1+anxn una función
polinomial. Si r1, r2, . . . , rn son las ráıces de p(x) (contando sus
multiplicidades), entonces:
r1 + x2 + · · ·+ rn = −
an−1
an
r1r2 + r1r3 + · · ·+ rn−1rn =
an−2
an
r1r2r3 + r1r2r4 + · · ·+ rn−2rn−1rn = −
an−3
an
... =
...
r1r2r2 · · · rn−1rn = (−1)n
a0
an
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Relacion de ráıces y coeficientes
Un caso particular de Cardano-Viette
Si p(x) = a + bx + cx2 + dx3 y r1, r2 y r3 sus ráıces, entonces
r1 + r2 + r3 = −
c
d
r1r2 + r1r3 + r2r3 =
b
d
r1r2r3 = −
a
d
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Relacion de ráıces y coeficientes
Ráıces racionales
Teorema: Ráıces racionales
Considere la ecuación polinomial
0 = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn
con a0 6= 0, de coeficientes enteros. Sea
p
q
∈ Q, donde p y q
son coprimos. Si
p
q
es una ráız de la ecuación, entonces p es un
divisor de a0 y q es un divisor de an.
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Relacion de ráıces y coeficientes
Ráıces racionales
Ejemplo
Encontrar las ráıces racionales de p(x) = 2x2 + 11x2 + 4x− 5
Solucióni: Las posibles ráıces racionales son los números racionales
cuyo numerador son los divisores del término independiente y cuyo
denominador son los divisores del coeficiente principal.
P.R.R. = ±
{
Divisores del término
independiente
}
{
Divisores del
coeficiente principal
} = ±{1; 5}
{1; 2}
= ±
{
1;
1
2
; 5;
5
2
}
Luego utilizando Ruffini, verificamos que x = −1 es una ráız.
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EJERCICIOS
Ejercicios de Clase
Ejercicio 19
Encuentre la suma de coeficientes de la función polinomial f(x)
que cumpla con las siguientes condiciones:
I. I. Coeficiente principal 2.
II. II. gr(f) = 6.
III. III. Ráıces simples a 2 y −1.
IV. IV. Ráıces dobles a 3 y 0.
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EJERCICIOS
Ejercicios de Clase
Ejercicio 28
Sea la función polinomial:
f(x) = x4 − 18x3 + kx2 + 200x− 1984
con ráıces {m,n, p, q} tal que: mn = −32. Halle k.
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EJERCICIOS
Ejercicios de Clase
Ejercicio 25
Dada la función polinomial
f(x) = x7 + ax + 2
Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. I. Si a ≥ 0 entonces f(x) posee una sola ráız real.
II. II. Si a < 0 entonces f(x) posee al menos 3 ráıces reales.
III. IIi. Si a < 0 entonces f(x) posee a lo más 3 ráıces reales.
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EJERCICIOS
Ejercicios de Clase
Ejercicio 30
Sea la función polinomial:
f(x) = x5 + x− 10
Determine el número de soluciones realesen el intervalo 〈1; 2〉
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