Ecuaciones de Lagrange

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Universidad Simón Boĺıvar Introducción al MEF
7. Apendices
7.1. Deducción de las ecuaciones de Lagrange
Las ecuaciones de Lagrange son una formulación de las leyes del movimiento de
un sistema material en función de los conceptos de enerǵıa y trabajo.
Coordenadas generalizadas (qj) Son n parámetros geométricos independientes
q1, . . . , qn que describen perfectamente la posición de cualquier punto de un
sistema material de n grados de libertad. En consecuencia, la posición y el
desplazamiento de un punto cualquiera del sistema dependen, en general, de
las n coordenadas generalizadas, i.e.:
xi = xi(q1(t), . . . , qn(t))
ui = ui(q1(t), . . . , qn(t))
Desplazamiento virtual (δq) Es un desplazamiento infinitesimal, instantáneo e
imaginario de la enésima coordenada generalizada de un sistema material
que respeta las limitaciones impuestas por los v́ınculos. Aśı el desplazamiento
virtual del punto i, se obtiene como:
δui =
∂ui
∂q1
δq1 + · · ·+ ∂ui
∂qn
δqn =
n∑
j=1
∂ui
∂qj
δqj
En base a la definición anterior podemos expresar la velocidad del punto i
como:
u̇i =
dui
dt
=
∂ui
∂q1
dq1
dt
+ · · ·+ ∂ui
∂qn
dqn
dt
=
n∑
j=1
∂ui
∂qj
q̇j
Trabajo virtual (δW ) es el trabajo producido por las fuerzas que actúan sobre un
sistema material cuando sobre éste se impone un sistema de desplazamientos
virtuales.
δW fi = (δui)
T fi
7.1.1. Deducción a partir de las leyes de Newton
El trabajo virtual realizado sobre una part́ıcula i del sistema material estudiado,
lo podemos escribir de la siguiente forma:
δWi = (δui)
T fi = (δui)
T miüi
Euro Casanova, 2005 48
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y sumando para las p part́ıculas del sistema e introduciendo la expresión de δui
tenemos:
δW =
p∑
i=1
δWi =
p∑
i=1
(δui)
T fi =
p∑
i=1
(δui)
T miüi
=
p∑
i=1
[
n∑
j=1
(
∂ui
∂qj
δqj
)T
fi
]
=
p∑
i=1
[
n∑
j=1
(
∂ui
∂qj
δqj
)T
miüi
]
=
n∑
j=1
δqj
[
p∑
i=1
(
∂ui
∂qj
)T
fi
]
=
n∑
j=1
δqj
[
p∑
i=1
(
∂ui
∂qj
)T
miüi
]
Definiendo la fuerza generalizada asociada a la coordenada qj como:
Qj =
p∑
i=1
(
∂ui
∂qj
)T
fi
Se puede escribir la siguiente expresión:
δW =
n∑
j=1
δqjQj =
n∑
j=1
δqj
[
p∑
i=1
(
∂ui
∂qj
)T
miüi
]
La enerǵıa cinética del sistema tiene la siguiente expresión:
T =
p∑
i=1
1
2
miu̇
T
i u̇i
Derivando esta expresión parcialmente respecto a la coordenada qj se obtiene:
∂T
∂qj
=
p∑
i=1
miu̇
T
i
∂u̇i
∂qj
Por otro lado, derivando la enerǵıa cinética respecto a la coordenada q̇j se
obtiene:
∂T
∂q̇j
=
p∑
i=1
miu̇
T
i
∂u̇i
∂q̇j
=
p∑
i=1
miu̇
T
i
∂ui
∂qj
donde la última igualdad se verifica gracias a la ley de cancelación de los puntos
δu̇i
δq̇k
= δuiδqk .
Euro Casanova, 2005 49
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Śı se deriva la última expresión respecto al tiempo se obtiene:
d
dt
(
∂T
∂q̇j
)
=
p∑
i=1
mi
[
du̇Ti
dt
∂ui
∂qj
+ u̇Ti
d
dt
(
∂ui
∂qj
)]
=
p∑
i=1
mi
[
üTi
∂ui
∂qj
+ u̇Ti
∂
∂qj
(
dui
dt
)]
=
p∑
i=1
miü
T
i
∂ui
∂qj
+
p∑
i=1
miu̇
T
i
∂u̇i
∂qj
Ahora, reconociendo que el término de la expresión del trabajo virtual realizado
por las fuerzas inerciales se puede escribir en función de las derivadas de T , i.e.:
δW =
n∑
j=1
δqj
[
p∑
i=1
miü
T
i
∂ui
∂qj
]
=
n∑
j=1
δqj
[
d
dt
(
∂T
∂q̇j
)
− ∂T
∂qj
]
se obtiene entonces:
δW =
n∑
j
δqjQj =
n∑
j=1
δqj
[
d
dt
(
∂T
∂q̇j
)
− ∂T
∂qj
]
Puesto que los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas (δqj)
son independientes entre śı, entonces existen n ecuaciones de la forma:
Qj =
d
dt
(
∂T
∂q̇j
)
− ∂T
∂qj
En cuanto a las fuerzas generalizadas, escribiendo de nuevo la expresión para
δW obtengo:
δW =
n∑
j=1
δqjQj =
n∑
j=1
δqj
[
p∑
i=1
∂uTi
∂qj
fi
]
=
p∑
i=1
(δui)
T fi
Las fuerzas que actúan sobre el sistema las dividimos en:
Qj = Q
C(E)
j + Q
C(I)
j + Q
NCvisc.
j + Q
NC
j
En el caso de las fuerzas conservativas externas Q
C(E)
j , tenemos:
Q
C(E)
j =
∂uTi
∂qj
f
C(E)
i =
∂
∂qj
(
uTi f
C(E)
i
)
=
∂
∂qj
WC(E)
Euro Casanova, 2005 50
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En el caso de las fuerzas generalizadas conservativas internas Q
C(I)
j , éstas son
producidas por fuerzas que pueden ser expresadas como el gradiente de una función
escalar, i.e. fC(I) = −∇U , donde U es la enerǵıa potencial, aśı tenemos:
Q
C(I)
j =
∂uTi
∂qj
f
C(I)
i =
∂uTi
∂qj
(−∇U)
= −∂u
T
i
∂qj
∂U
∂ui
= −∂U
∂qj
En el caso de la las fuerzas no conservativas producidas por la disipación viscosa
lineal QNCvisc.j :
QNCvisc.j = −
∂D
∂q̇j
donde D es la función de disipación.
Finalmente, definiendo la enerǵıa potencial total como:
Π = U −WC(E)
las expresiones que se utilizan y que se conocen como las Ecuaciones de Lagrange
tienen la siguiente forma:
QNCj =
d
dt
(
∂T
∂q̇j
)
− ∂T
∂qj
+
∂Π
∂qj
+
∂D
∂q̇j
j = 1, . . . , n
Notese que para el caso estático (i.e. T = D = 0) las Ecuaciones de Lagrange
se reducen a:
∂Π
∂qj
= 0 j = 1, . . . , n
de donde es claro que las posiciones de equilibrio estático corresponden a las
configuraciones donde la enerǵıa potencial total (Π) es máxima o mı́nima. Aśı,
diferentes tipos de equilibrio estáticos pueden ser definidos dependiendo de śı la
función enerǵıa potencial total tiene un máximo (equilibrio inestable), un mı́nimo
(equilibrio estable), un punto de inflexión (equilibrio inestable) o es constante
(equilibrio indiferente).
Euro Casanova, 2005 51