algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-81

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Solución:
Dividiendo por el método normal. Si la división
es exacta, el residuo debe ser un polinomio idén-
ticamente nulo.
x4 + 0 - mx2a2 + 0 + a4 x2 - ax + a2
-x4 + x3a - x2a2 x2 + xa - ma2
––––––––––––––––––––
x3a - (m+1)x2a2
-x3a+ x2a2 - xa3
––––––––––––––––––––––––––––––––
- mx2a2 - xa3 + a4
mx2a2 - mxa3+ ma4
–––––––––––––––––––––––––––––––
- (1 + m)xa3 + (1 + m)a4
Si la división es exacta:
-(1 + m)xa3 + (1 + m)a4 ≡ 0
Factorizando:
(1 + m) (-xa3 + a4) ≡ 0
Igualando a cero los factores:
1 + m = 0 ; m = -1
Rpta.: m = -1
2.- Hallar m + n + p si la división que sigue no deja
resto:
12x5 - 9x4 + 14x3 - mx2 + nx - p
–––––––––––––––––––––––––––
3x3 + 2x - 6
Solución:
Utilizando el método de coeficientes separados, el
resto debe ser un polinomio idénticamente nulo.
12 - 9 + 14 - m + n - p 3 + 0 + 2 - 6
-12 - 0 - 8 + 24 4 - 3 + 2
–––––––––––––––––––––––––––––
- 9 + 6 + 24 -m + n
+ 9 + 0 + 6 - 18
–––––––––––––––––––––––––––
+ 6 + 30 - m + n - 18 - p
- 6 - 0 - 4 + 12
–––––––––––––––––––––––––––––
30 - m + n - 22 - p + 12
Como la división no deja resto:
30-m + n - 22 - p + 12 = 0
m + n + p = 20 
3.- Calcular p y q, si la división es exacta:
x4 + px2 + q
––––––––––––
x2 - 6x + 5
Solución:
Para que una división sea exacta, el resto debe ser
un polinomio idénticamente nulo. Dividiendo
por el método de Horner:
6 +p+31
1 1 0 +p 0 +q
+6 +6 -5
-5 +36 -30
6p+186 -5p-155
1 +6 p+31 6p+156 -5p+q-155
Luego, el cociente es (grado2):
Q(x) = x2 + 6x + (p + 31)
el resto es:
(6p + 156)x + (-5p + q - 155)
Por condición:
R(x) ≡ 0x + 0
∴ (6p + 156)x + (-5p + q - 155) ≡ 0x + 0
identificando coeficientes:
6p + 156 = 0 ⇒ p = -26
-5p + q-155 = 0 ⇒ q = 25
Rpta.: p = -26, q = 25
4.- Determinar m y n si la división:
x4 - 3x3a + x2a2 + mxa3 + na4
–––––––––––––––––––––––––––
x2 - ax + a2
deja como resto:
7xa3 + 3a4
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 93