algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-85

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11.- Calcular la relación entre p y q si la división de:
x4 + (p + 2m)x + q - 1 entre x2 + mx - 1 es exacta.
Solución:
Dividiendo por el método de Horner:
-m m2+1
1 1 0 0 p+2m q-1
-m +1
-m
+m2 -m
+1
-m3-m m2+1
1 -m m2+1 p-m3 m2+q
El cociente es:
q(x) = x2 - mx + (m2 + 1)
El resto es:
R(x) = (p - m3)x + (m2 + q)
Como la división es exacta:
R(x) ≡ 0
por lo tanto:
(p - m3)x + (m2 + q) ≡ 0x + 0
identificando coeficientes:
p - m3 = 0 ⇒ p = m3 (I)
m2 + q = 0 ⇒ -q = m2 (II)
Elevando (I) al cuadrado y (II) al cubo se obtiene:
p2 = m6 , -q3 = m6,
y de estas dos últimas relaciones se obtiene final-
mente que:
p2 = -q3
12.- Hallar el valor de “n” si el grado de P(x) y Q(x)
es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que
el grado de la expresión:
{P7(x) + Q5(x)}2n
–––––––––––––––––
{P5(x) + Q4(x)}n+3
es igual a 4.
Solución:
Determinemos el grado de cada expresión:
°⏐P7(x)⏐ = 7 . 3 = 21
°⏐Q5(x)⏐= 5 . 4 = 20
°⏐P5(x)⏐ = 5 . 3 = 15
°⏐Q4(x)⏐= 4 . 4 = 16
°⏐P7(x) + Q5(x)⏐ = 21
°⏐P5(x) + Q4(x)⏐ = 16
°⏐P7(x) + Q5(x) ⏐2n = 21 . (2n) = 42n
°⏐Q5(x) + Q4(x) ⏐n+3 = 16(n + 3)
El grado de la expresión es:
° {P7(x) + Q5(x)}2n⏐–––––––––––––––––⏐= 42n - 16(n + 3){P5(x) + Q4(x)}n+3
Por condición:
42n - 16(n + 3) = 4
n = 2
Rpta.: n = 2
13.- Si la división:
x4 - ax2 + bx - c
–––––––––––––––––– es exacta. Calcular:
x3 - 3dx2 + 3d2x - d3
a3E = ––––
b2
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 97