algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-97

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11.- Calcular “m” y “n” si la división:
xm(x - a)3m - 256(3a - x)2n
––––––––––––––––––––––––––
x - 2a
es exacta.
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x - 2a = 0
• x = 2a
• R = (2a)m(2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n
Según enunciado:
(2a)m(2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n = 0
efectuando:
2m . am . a3m = 256a2n
2ma4m = 28a2n
Identificando factores con bases iguales:
2m = 28 ⇒ m = 8
a4m = a2n ⇒ 4m = 2n
n = 2m
n = 2(8) = 16
Rpta.: m = 8
n = 16
12.- Hallar “m” si la división no deja resto:
x8 + (y2 - z2)2 - mx4(y2 + z2) 
––––––––––––––––––––––––––
x2 - y - z
Solución:
Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:
• x2 - y - z = 0
• x2 = y + z
• R = (y + z)4 + (y2 - z2)2 - m(y + z)2(y2 + z2)
Por enunciado:
(y + z)4 + (y2 - z2)2 - m(y + z)2(y2 + z2) = 0
Por enunciado:
(y + z)4 + (y + z)2 (y - z)2 = m(y + z)2(y2 + z2)
(y + z)4 [(y + z)2 + (y - z)2] = m(y + z)2(y2 + z2)
simplificando y aplicando Legendre:
2(y2 + z2) = m(y2 + z2) 
de donde: m = 2
13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7.
(x + 3a)7 - (x7 + ma7)
–––––––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
• R = (-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7]
Por condición del problema:
(-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7] = 49a7
de donde:
a7 - (-128a7 + ma7) = 49a7
a7 +128a7 - ma7 = 49a7
operando: m = 80
14.- Calcular “m” si la división es exacta:
m(x + y + z)3 - (x + y)3 - (x + z)3 - (x + z)3
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + 2z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + 2z = 0
• x = -y - 2z
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 109