algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-340

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α
α α
SISTEMAS DE ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver el sistema:
x + y = 12 (1)
xy = 35 (2)
Solución:
Dada la suma y el producto de dos números, se
puede formar una ecuación de segundo grado de
acuerdo a la propiedad de las raíces de una
ecuación de segundo grado; entonces, sean “x” e
“y” las raíces de la ecuación:
t2 - 12t + 35 = 0
factorizando:
(t - 7)(t - 5) = 0
∴ t1 = 7 y t2 = 5
siendo 7 y 5 las raíces se tendrá:
x = 7 , y = 5
o:
x = 5 , y = 7
2.- Resolver el sistema:
x + y = 10 (I)
x2 + y2 = 58 (II)
Solución:
Como se conoce la suma, se busca el producto
para formar ecuación de segundo grado.
Elevando el cuadrado la ecuación (I):
x2 + 2xy + y2 = 100 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
2xy + 58 = 100
xy = 21 (IV)
De (I) y (IV):
x = 7 , y = 3
o:
x = 3 , y = 7
3.- Resolver el sistema:
x3 + y3 = 35 (I)
x + y = 5 (II)
Solución:
En (I), factorizando la suma de cubos:
(x + y)(x2 - xy + y2) = 35
que se puede escribir como:
(x + y) [(x + y)2 - 3xy] = 35 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
(5) (25 - 3xy) = 35 ; xy = 6 (IV)
De (II) y (IV) se obtiene:
x = 2 , y = 3
o:
x = 3 , y = 2
4.- Resolver el sistema:
___
x + y - √xy = 19 (I)
x2 + y2 + xy = 931 (II)
Solución:
En la ecuación (II) sumando y restando xy:
(x2 + 2xy + y2) - xy = 931
___
(x + y)2 - (√xy )
2
= 931
___ ___
(x + √xy + y) (x - √xy + y) = 931 (III)
Dividiendo (III) entre (I)
___
x + √xy + y = 49 (IV)
Sumando (I) y (IV):
2(x + y) = 68
x + y = 34 (V)
Restando (IV) menos (I):
___
2 √ xy = 30
xy = 225 (VI)
Algebra 27/7/05 16:46 Página 352