algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-341

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De (V) y (VI) se obtiene:
x = 25 , y = 9
o:
x = 9 , y = 25
5.- Resolver:
(x - y)(x2 - y2) = 288
(x + y)(x2 + y2) = 400
Solución:
Efectuando operaciones en ambas ecuaciones:
x3 - x2y - xy2 + y3 = 288 (I)
x3 + x2y + xy2 + y3 = 400 (II)
Sumando (I) más (II):
2 (x3 + y3) = 688 
x3 + y3 = 344 
(x + y) [(x + y)2 - 3xy] = 344
(x + y)3 - 3xy(x + y) = 344 (III)
Restando (II) menos (I):
2xy(x + y) = 112
xy(x + y) = 56
Multiplicando por 3:
3xy(x + y) = 168 (IV)
Sumando (III) y (IV): 
(x + y)3 = 512
x + y = 8 (V)
Sustituyendo (V) en (IV): 
xy = 7 (VI)
De (V) y (VI) se obtiene:
x = 1 , y = 7
o:
x = 7 , y = 1
6.- Resolver el sistema:
x + y + z = 13 (1)
x2 + y2 + z2 = 65 (2)
xy = 10 (3)
Solución:
De la ecuación (3): 
2xy = 20
Sumando (2) y (3):
(x2 + 2xy + y2) + z2 = 85
haciendo x + y = u: 
u2 + z2 = 85 (4)
igualmente, haciendo x + y = u en (1):
u + z = 13 (5)
de las ecuaciones (4) y (5):
u = 7 , z = 6
o:
u = 6 , z = 7
Para: u = 7 , z = 6:
x + y = 7 ⇒ x = 2 , y = 5
xy = 10 ⇒ x = 5 , y = 2
Para: u= 6 , z = 7:
x + y = 6 ⇒ x = 3 ± i
xy = 10 ⇒ y = 3 ± i
x = 5 ó 2 x = 3 ± i
∴ { y = 2 ó 5 o { y = 3 ± i
z = 6 z = 7
7.- Resolver el sistema:
(x + y)(x + z) = 30 (1)
(y + z)(y + x) = 15 (2)
(z + x)(z + y) = 18 (3)
Algebra 27/7/05 16:46 Página 353