518-2013-11-12-INTEGRALES2

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INTEGRALES IMPROPIAS 
 
 
• Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann 
de una función f acotada y definida en un intervalo 
cerrado y acotado [a, b], con ,a b∈ . Ahora 
generalizamos este concepto. 
 
 
1. Integral de una función acotada, definida en un 
intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª 
especie). Ejemplo: 
 
 1( ) en [1, )f x
x
= ∞ 
 
2. Integral de una función no acotada, definida en un 
intervalo acotado (Integral impropia de 2ª 
especie). Ejemplo: 
 
 
1( ) en (0,1]f x
x
= 
 
3. Integral de una función no acotada, definida en un 
intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª y 
2ª especie). Ejemplo: 
 
 
 
1
0 0 1
1ª especie 2ª especie
1 1 1 1( ) en (0, )f x dx dx dx
x x x x
∞ ∞
= ∞ ⇒ = +∫ ∫ ∫
 
 
 
• Definición: Sea f una función acotada definida en el 
intervalo [ , ),a a∞ ∈ . Si para todo b>a la función es 
integrable en [a, b] y además es finito el límite 
lim ( )
b
ab
f x dx
→∞
< ∞∫ , se dice que existe la integral 
impropia de f en [ , )a ∞ y es convergente. 
Ejemplo: 
 
[ )2
1
2 2 11 1
1( ) en 1, ;
1 1 1lim lim lim 1 1
b b
b b b
f x
x
dx dx x
x x b
∞ −
→∞ →∞ →∞
= ∞
  = = − = − + =    ∫ ∫
 
• Definición: Sea f una función acotada definida en el 
intervalo ( , ],b b−∞ ∈ . Si para todo a<b la función 
es integrable en [a, b] y además es finito el límite 
lim ( )
b
aa
f x dx
→−∞
< ∞∫ , se dice que existe la integral 
impropia de f en ( , ]b−∞ y es convergente. 
• Definición: Sea f una función acotada definida en el 
intervalo ( , )−∞ ∞ . Si para todo a<b la función es 
integrable en [a, b] y además son finitos los límites 
lim ( )
b
aa
f x dx
→−∞
< ∞∫ y lim ( )
b
ab
f x dx
→∞
< ∞∫ , se dice que 
existe la integral impropia de f en ( , )−∞ ∞ y es 
convergente, es decir, 
 ( ) lim ( ) lim ( )
c b
a ca b
f x dx f x dx f x dx
∞
−∞ →−∞ →∞
= + < ∞∫ ∫ ∫ 
 
• Observación: 
 
Valor Principal en 
sentido de Cauchy
Si existe ( ) ( ) lim ( )
b
bb
f x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞ −→∞
⇒ =∫ ∫ ∫

 
 La implicación contraria no se da. 
Condiciones para la existencia de la integral impropia de 
1ª especie: 
 
a) Condición necesaria: Si existe (converge) 
0
( )f x dx
∞
∫ , entonces lim ( ) 0x f x→∞ = . 
b) Condición necesaria y suficiente: si f es una 
función acotada definida en [ , ),a a∞ ∈ e 
integrable en [a, b] b a∀ ≥ , con función 
primitiva F tal que lim ( )
b
F b k
→∞
= < ∞ , entonces 
( )
a
f x dx
∞
∫ es convergente y 
 ( ) ( )
a
f x dx k F a
∞
= −∫ 
 
 
 
• Criterios de Comparación: Si f es integrable en el 
intervalo [a, b] b a∀ ≥ , g en una función tal que 
0 ( ) ( ) [ , )f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ ∞ , y la integral de g en 
[ , )a ∞ es convergente, entonces la integral f en [ , )a ∞ 
es convergente y ( ) ( )
a a
f x dx g x dx
∞ ∞
≤∫ ∫ . Además si la 
integral f en [ , )a ∞ es no convergente, entonces la 
integral de g en [ , )a ∞ no es convergente. 
 
Ejemplo: 
 
22
1
2 2 2 2 22 2
1 es convergente para todo 2 ya que
(1 )
1 1 1 1 10 y lim lim .
(1 ) 2
x
b b
x b b
dx x
x e
dx dx x
x e x x x
∞
∞ −
→∞ →∞
≥
+
 ≤ ≤ = = − = +
∫
∫ ∫
 
 
 
Ejemplo: 
 
5 / 31
2 / 3 2 / 3 1/ 3
5 / 3 5 / 3 11
2 es divergente para todo 1 ya que
2
2 1 1 1 y lim 3 .
2 2 2 2 2
b
b
x dx x
x
x x x x dx x
x x
∞
∞− −
→∞
+
≥
+  > = = = ∞ 
∫
∫
 
 
 
 
Ejercicio: Estudie para qué valores de α ∈ es 
convergente la integral de la función 1( )f x
xα
= en el 
intervalo [ , ), con 0.a a∞ > 
• Integrales impropias de 2ª especie 
Definición: Sea f una función definida en (a, b] y 
supóngase que f es integrable en [ , ] 0a bε ε+ ∀ > . Si 
existe y es finito el límite 
0
lim ( )
b
a
f x dx
εε + +→
< ∞∫ , se dice 
que existe la integral impropia de f en (a, b] y es 
convergente. 
 
Análogamente: 
- La integral de una función f no acotada en el 
intervalo [a, b) se define como el límite (cuando 
existe y es finito): 
0
lim ( )
b
a
f x dx
ε
ε +
−
→ ∫ . 
 
- Si la función f no está acotada en c∈ [a, b], entonces 
se define 
0 0
( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
b c b c b
a a c a c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
ε
εε ε+ +
−
+→ →
= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
Teorema: Sea f una función definida en (a, b] que tiene 
función primitiva F. Entonces si 
0
lim ( )F a k
ε
ε
+→
+ = se 
verifica que ( )
b
a
f x dx∫ es convergente y además 
 ( ) ( )
b
a
f x dx F b k= −∫ 
 
Ejercicio: Estudie la convergencia de: 
 y de:
2
( ) ln( ), (0,1]
1( ) , [ 2,3]
f x x x
g x x
x
= ∈
= ∈ −
 
• Criterios de comparación: 
 
Si la función f es integrable en [ , ] 0,a b a bε ε ε+ ∀ > + < 
y g es una función tal que 0 ( ) ( ) ( , ],f x g x x a b≤ ≤ ∀ ∈ se 
tiene que: 
a) Si la integral de g es convergente entonces la 
integral de f es convergente y 
 
 ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≤∫ ∫ 
 
 
b) Si la integral de f es no convergente entonces la 
integral de g es no convergente. 
 
INTEGRALES EULERIANAS 
 
 
• Definición: Se define la función Gamma de parámetro 
p como la integral: 
 
 1
0
( ) p xp x e dx
∞ − −Γ = ∫ 
 
• Proposición: Existencia⇒Si p>0, la integral ( )pΓ es 
convergente. 
 
 Demostración: 
 
 
( )
1
1 1
1
Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).
1) Sea ( ) , definida en (0,1); 
1 1entonces como 0 , basta con demostrar
1que es convergente la integral en (0,1) de la función 
para 0, para co
x p
x p p
p
f x e x
e x x
x
p
− −
− −
−
∞ = ∪ ∞
=
≤ ≤
>
[ ]
1
1
1 0 0
10
1
0 0
ncluir que también será convergente 
1la integral en (0,1) de la función para 0 :
1 , si 01 1 1lim lim1
, si 0
lim ln lim ln , si 0
x p
p p
p
p
e x
p
px
p p pdx px
x p
ε ε
ε
εε ε
ε
ε
+ +
+ +
−
→ →
−
→ →
>
  >   = − =    =  −∞ <
 = − = ∞ =

∫
 
Por tanto, para p>0 será convergente 
1 1
0
x pe x dx− −∫ . 
 
1
1
2 2
1
2 2 11 1
1
1
1
0
1 12) Sabemos que [1, ) : 0
1 1 Como lim lim 1,
 entonces 0< 1, .
En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es
convergen
p
p x
x
b b
b b
p x
p x
xx x e p
e x x
dx dx x
x x
x e dx p
x e dx
+
− −
∞ −
→∞ →∞
∞ − −
∞ − −
∀ ∈ ∞ ≤ = ≤ ∀
 = = − = 
< ∀
∫ ∫
∫
∫
te para 0.p >
 
 
 
• Propiedades: 
 
 
1) (1) 1
2) ( ) ( 1) ( 1), 1
3) Si y 2 ( ) ( 1)!
4) (1/ 2)
p p p p
p p p p
π
Γ =
Γ = − Γ − >
∈ ≥ ⇒Γ = −
Γ =

 
 
 
 
• Definición: Se define la función beta de parámetros p 
y q como: 
 
 
1 1 1
0
( , ) (1 )p qp q x x dxβ − −= −∫ , 
 
y es convergente para 0, 0p q> > 
 
 
• Propiedades: 
 
 
[ ] [ ]
1 1 1
0
/ 2 2 1 2 1
0
1) ( , ) ( , )
2) (1, ) 1/
-13) ( , ) (1 ) = ( 1, 1), 0, 1
( ) ( )4) ( , )
( )
5) ( , ) 2 sin( ) cos( ) , , 0
p q
p q
p q q p
q q
qp q x x dx p q p q
q
p qp q
p q
p q d p q
π
β β
β
β β
β
β θ θ θ
− −
− −
=
=
= − + − ∀ > >
Γ Γ
=
Γ +
= ∀ >
∫
∫
 
 
 
INTEGRALES DOBLES 
(apuntes extraídos de Moisés Villena) 
 
 
Definición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De aquí surge la definición de integral doble: 
 
 
 
 
 
 
 
Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con 
respecto a y igualmente. Hágalo como ejercicio. 
Integrales dobles sobre regiones generales: 
 
 
 
1) Haciendo un barrido vertical: 
 
 
 
 
2) Haciendo un barrido horizontal: 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4