YA SUBIDO ASESORÍA ECOPILADO POR CASTRO CEPRE

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T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
ÍA
ASESORÍA 01 DE TRIGONOMETRÍA
2
PROBLEMA 1
Según la figura mostrada, ¿Cual es la ecuación que relaciona a los ángulos
𝛼 , 𝛽 𝑦 𝜃 ?
𝐴) 𝛼 − 𝛽 + 𝜃 = 180°
𝐵) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = 180°
𝐶) − 𝛼 − 𝛽 + 𝜃 = 180°
𝐷) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180°
𝐸) − 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 360°
𝛼
𝛽
𝜃
3
Resolución:
−𝛼
−𝛽
𝜃360° − (−𝛼)
−𝛽 − 360°
De la figura: 
360° + 𝛼 − 𝛽 − 360° + 𝜃 = 180°
Reduciendo: 
α – β + θ = 180º
4
PROBLEMA 2
A partir de la figura mostrada, calcule (𝑥 + 180).
𝐴) −
9𝜃
10
𝐸) −
11𝜃
10
𝐶) −
19𝜃
10
𝐵) −
10𝜃
9
𝐷) −
10𝜃
19
𝜃°
𝜃𝑔
𝑥°
5
Resolución:
−𝜃°
−𝜃𝑔
𝑥°
−𝜃𝑔 − 𝑥°
De la figura: 
−𝜃° − 𝜃𝑔 − 𝑥° = 180°
Convirtiendo:
−𝜃° − 𝜃𝑔.
9°
10𝑔
− 𝑥° = 180°
Operando:
–
19𝜃º
10
𝑥 + 180 =
−19𝜃
10
6
PROBLEMA 3
De la figura mostrada, calcule 𝛽/𝛼
A) 61/3600
B) 62/3600
C) 63/36000
D) 64/3600
E) 65/3600
𝛽°
𝛼′
𝛼′′
7
Resolución:
Se convierte todo a segundos sexagesimales:
Despejando:
De la figura:
𝛽°
𝛼′
𝛼′′
C
B
O
A
α” + α’ = βº
α” + 60α” = 3600β”
61α = 3600β
𝛽
𝛼
= 
61
3600
8
PROBLEMA 4
Sabiendo que 5𝑚 = 𝑥′𝑦′′ calcule 𝑥 + 𝑦
𝐴) 40 𝐶) 44𝐵) 42
𝐷) 46 𝐸) 48
9
Resolución:
De la condición: 5𝑚 = x’y”
Pero: 5𝑚 = 
50𝑚
10
= 
27′
10
5𝑚 =2’ + 0,7’
0,7(60”)
→ 5𝑚 =2’ + 42” → 5𝑚 =2’ 42”
x = 2
y = 42
∴ x + y = 44
10
PROBLEMA 5
Si 50𝑔25𝑚 <> 𝑎𝑏°𝑐𝑑´𝑒𝑓´´
Calcule
𝑏−𝑐
𝑎−𝑑
𝐴) 1 𝐶) 3𝐵) 2
𝐷) 4 𝐸) 5
11
Resolución:
De la condición: 50𝑔25𝑚 <> 𝑎𝑏°𝑐𝑑´𝑒𝑓´´
β
β = 50𝑔 + 25𝑚 = 50𝑔
9º
10𝑔
+ 25𝑚
27′
50𝑚
→ β = 45º + 13,5’
30”
→ β = 45º + 13’ + 0,5’
→ β = 45º13’30” → a = 4; b = 5; c = 1; d = 3; e = 3; f = 0
Piden: 𝑏−𝑐
𝑎−𝑑
= 
5−1
4−3 ∴
𝑏−𝑐
𝑎−𝑑
= 2
12
PROBLEMA 6
Dado el ángulo trigonométrico a, tal que:
𝛼 = 2(3°5′ + 5°7′ + 7°9′ + 9°11′………… .55°57′) = 𝑥𝑦𝑦𝑥𝑔
Determine el número de grados centesimales del complemento del
ángulo 2𝑥𝑦 + 𝑦2 °
𝐴) 20 𝐶) 30𝐵) 27 𝐷) 63 𝐸) 70
13
Resolución:
𝛼 = 2(3°5′ + 5°7′ + 7°9′ + 9°11′………+ 53°55′ + 55°57′)<> 𝑥𝑦𝑦𝑥𝑔
Por condición:
Separamos los grados y los minutos de cada uno de los ángulos dados:
𝛼 = 2 3° + 5° +⋯+ 53° + 55° + (5′ + 7′ +⋯+ 55′ + 57′)
𝛼 = 2
58°
2
(27) + (
62′
2
)(27)
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛 58° 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛 62′
⟹ 𝛼 = 58 27° + 62(27′)
30𝑔 50𝑚
𝛼 = 1740𝑔 + 31(1𝑔) ⟹ 𝛼 = 1771𝑔
∴ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ° = 27° <> 30𝑔
<> 𝑥𝑦𝑦𝑥𝑔 ⟹ 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ° = 63°
27 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
14
PROBLEMA 7
La suma del número de grados sexagesimales y el número de grados
centesimales de un mismo ángulo trigonométrico resulta 50. Calcule el
número de radianes de dicho ángulo.
𝐴)
𝜋
6 𝐶)
5𝜋
38
𝐵)
𝜋
8
𝐷)
3𝜋
19
𝐸)
3𝜋
16
15
𝑆
9
=
𝐶
10
=
20𝑅
𝜋
= k
C + S = 50
R =
𝜋𝑘
20
9k + 10k = 50 → k =
50
19
Como piden la medida radial:
Resolución:
Sabemos:
S = 9k
C = 10k
R =
𝜋𝑘
20
De la condición:
→ R =
𝜋
20
50
19
∴ R = 
5𝜋
38
16
PROBLEMA 8
Siendo S, C y R los números de grados sexagesimales, centesimales y
número de radianes de un mismo ángulo, tal que:
𝑆°
3
+
𝐶𝑔
15
+
𝑅𝑟𝑎𝑑
35
= 16°12′
Calcule el número de grados centesimales de dicho ángulo.
𝐴) 41 𝐵) 42 𝐶) 43
𝐷) 44 𝐸) 45
17
Resolución:
𝑆
3
+ 
𝐶
15
(
9
10
) + 
𝑅
35
(
180
𝜋
) = 16 + 
12
60
= 
81
5
𝑆°
3
+
𝐶𝑔
15
+
𝑅𝑟𝑎𝑑
35
= 16°12′
Quedaría: 
𝑆
3
+ 
3𝐶
50
+ 
36𝑅
7𝜋
= 
81
5
1
3
(180k)+ 
3
50
(200k)+ 
36
7𝜋
(πk) = 
81
5
→ k=
21
100
Luego: C = 200
21
100′
= 42 ∴ El ángulo mide 42𝑔
De la condición:
Convertimos al sistema sexagesimal:
Usaremos:
S = 180k; C = 200k; R = πk
→ 
540𝑘
7
= 
81
5
18
PROBLEMA 9
Siendo S y C los números que representan la cantidad de grados
sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo, los cuales verifican.
𝑆 = 45 𝑥7 +
1
5
𝑦 𝐶 = 20(𝑥7 +
1
2
)
Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.
𝐴) 𝜋/2 𝐵)𝜋/5 𝐶) 𝜋/10
𝐷) 𝜋/15 𝐸) 𝜋/20
19
Resolución:
De las condiciones:
S = 45 𝑥7 +
1
5
→ 
𝑆
45
= 𝑥7+
1
5
... (1)
C = 20 𝑥7 +
1
2
→ 
𝐶
20
= 𝑥7+
1
2
... (2)
Restando: (2) – (1)
𝐶
20
−
𝑆
45
= 
1
2
-
1
5
→ 
1
20
200𝑅
𝜋
−
1
45
180𝑅
𝜋
= 
3
10
Reduciendo: 10𝑅
𝜋
-
4𝑅
𝜋
= 
3
10
→ 
6𝑅
𝜋
= 
3
10
∴ R = π
20
20
PROBLEMA 10
Sean S, C y R las medidas en grados sexagesimales, centesimales y
radianes de un mismo ángulo, respectivamente, el cual cumple:
𝑆
3
−
𝐶
5
2
−
20𝑅
𝜋
> 0
Calcule el menor valor posible (en radianes) para dicho ángulo positivo,
sabiendo que S y C son números enteros.
𝐴) 𝜋/10 𝐶) 𝜋/13𝐵) 𝜋/11
𝐷) 𝜋/15 𝐸) 𝜋/20
21
Resolución:
En la condición:
𝑆
3
−
𝐶
5
2
−
20𝑅
𝜋
> 0
S = 9k
C = 10k
R = 
𝜋𝑘
20
Consideración:
Como el ángulo
debe tener medida
positiva: k > 0
Remplazando:
9𝑘
3
−
10𝑘
5
2
−
20
𝜋
𝜋𝑘
20
> 0 → 𝑘2 - k > 0 → k(k – 1) > 0
Como: k > 0 → k – 1 > 0
k > 1 
Por condición S y C deben ser enteros, entonces k debe ser entero y el menor posible: k = 2
Luego, el ángulo mide: 
𝜋𝑘
20
= 
𝜋(2)
20 ∴ El ángulo mide π
10
rad 
22
PROBLEMA 11
Si x representa el número de segundos sexagesimales, “y” representa el
número de minutos centesimales de un ángulo trigonométrico; calcule:
𝐸 =
𝑥(𝑥 − 2,4𝑦)
3𝑦2
𝐴) 321 𝐶) 324𝐵) 322
𝐷) 424 𝐸) 624
23
Resolución:
De la condición:
x: número de segundos sexagesimales = 3600S
y: número de minutos centesimales = 100C
Luego: 𝑥
𝑦
= 
3600𝑆
100𝐶
→ 
𝑥
𝑦
= 36
9
10
→ 
𝑥
𝑦
= 
324
10
= 32,4
Piden:
K = 
𝑥(𝑥−2,4𝑦)
3𝑦2
= 
𝑥
3𝑦
𝑥
𝑦
−
2,4𝑦
𝑦
K = 
1
3
×
324
10
(32,4 – 2,4) ∴ K = 324
24
PROBLEMA 12
Dado los ángulos suplementarios cuyas medidas son 𝛼 𝑦 𝜃 en radianes
están dados por:
𝛼 =
60
𝑆𝑅
+
𝜋
2𝑅2
𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝜃 =
𝜋
3𝑅2
−
40
𝑅𝐶
𝑟𝑎𝑑
Siendo S, C y R los números de grados sexagesimales, centesimales y
radianes de un determinado ángulo no nulo. Calcule la medida del menor
de dichos ángulos.
𝐴) 2𝜋/7 𝐶) 3𝜋/5𝐵) 4𝜋/7
𝐷) 5𝜋/9 𝐸) 2𝜋/3
25
Resolución:
Determinaremos la proporcionalidad de las medidas de ambos ángulos
𝛼
𝜃
=
60
𝑆𝑅 +
𝜋
2𝑅2
𝜋
3𝑅2
−
40
𝑅𝐶
Consideramos que: 
𝛼
𝜃
=
1
𝑅
1
𝑅
(
60
𝑆 +
𝜋
2𝑅
𝜋
3𝑅
−
40
𝐶
)
𝑆 = 180𝑘
𝐶 = 200𝑘
𝑅 = 𝜋𝑘
Reemplazamos:
𝛼
𝜃
= (
60
180𝑘
+
𝜋
2𝜋𝑘
𝜋
3𝜋𝑘
−
40
200𝑘
)
𝛼
𝜃
= (
1
3 +
1
2
1
3
−
1
5
) ⟹
𝛼
𝜃
=
25
4
=
5
2
Por condición, estos ángulos son suplementarios
𝜃
𝛼 + 𝜃
=
2
5 + 2
(por proporciones)
𝜋 rad
⟹ 𝜃 =
2𝜋
7
𝑟𝑎𝑑
26
PROBLEMA 13
Si en la figura mostrada se cumple que: OA = 4(OC), m<AOB = 12º.
Calcular la medida del ángulo EOD si los arcos AB y CD son equivalentes.
E
D
C
B
O
A
A) 24º
B) 30º
C) 36º
D) 40º
E) 48º 
27
Resolución:
r
En la figura: OA = 4(OC)
E
D
C
B
O
A
Si: OC = r → OA = 4r
→ AC = 3r
→
𝜋
15
× (4r) = 
𝜋
15
+ 𝜃 × (r) 
r
3r
m<AOB = 12º =
𝜋
15
rad θrad
𝜋
15
rad
Sea: m<EOD = θrad
Por dato: L AB = L CD →
4𝜋
15
= 
𝜋
15
+ θ
→
3𝜋
15
= θ → θ = 
𝜋
5
∴ m<EOD = 
𝜋
5
rad = 36º 
28
PROBLEMA 14
Si en la figura mostrada AOB, COD y
EOF son sectores circulares cuyos
arcos miden a, b y c respectivamente,
los que cumplen:
𝑎
8
=
𝑏
9
=
𝑐
10
.
Calcular: J =
𝛼+𝜃
𝛽
0
F
E
D
C
B
A
θ
β
α
3
4
5
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
E) 8 
29
Resolución:
0
F
E
D
C
B
A
θ
β
α
3
4
5
c
(1)
De la figura:
b
a
𝑎
8
=
𝑏
9
=
𝑐
10
→
12𝛼
8
=
9(𝛼+𝛽)
9
=
5(𝛼+𝛽+𝜃)
10
(2)
De (1): 3𝛼
2
= α + β
3α = 2α + 2β → α = 2β
De (2): α + β =
𝛼+𝛽+𝜃
2
→ α + β = θ
→ 2α + 2β = α + β + θ
→ 2β + β = θ
→ θ = 3β
Piden: J =
𝛼+𝜃
𝛽
→ J =
2𝛽+3𝛽
𝛽
→ J =
5𝛽
𝛽
∴ J = 5
30
PROBLEMA 15
En la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares, donde las áreas
de las regiones AOB y ABDC están en la relación 25 a 24, además las
longitudes de los arcos AB y CD suman 24 𝑐𝑚 . Calcule la longitud
𝑒𝑛 𝑐𝑚 del arco AB.
𝑂
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
𝐴) 6
𝐶) 10
𝐵) 8
𝐷) 12 𝐸) 1431D
C
O
B
A
Resolución:
En la figura: AB = x → CD = 24 – x 
θrad
Sea: m<AOB = θrad
24 – x x
Del dato:
𝑆𝐴𝑂𝐵
25
=
𝑆𝐴𝐵𝐷𝐶
24
= 𝑺 → ቊ
𝑆𝐴𝑂𝐵 = 25𝑆
𝑆𝐴𝐵𝐷𝐶 = 24𝑆
24S25S
En el sector circular AOB:
25𝑆 =
𝑥 2
2𝜃
... (1)
(1) ÷ (2):
En el sector circular COD:
49𝑆 =
24−𝑥 2
2𝜃
... (2)
25
49
=
𝑥 2
24 − 𝑥 2
→ 
5
7
=
𝑥
24−𝑥
→ 120 − 5𝑥 = 7𝑥 → 𝑥 = 10
𝐿 𝐴𝐵 = 10cm
32
PROBLEMA 16
En el gráfico mostrado, AOB y COD son sectores
circulares. El área de la región sombreada es
igual al triple del área de la región no sombreada
y la longitud del arco AB es de 4u. Calcule la
longitud del arco DC en unidades.
𝑂
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
𝐴) 6
𝐶) 10
𝐵) 8
𝐷) 12 𝐸) 14
33
Resolución:
𝑂
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
Colocamos los datos sobre la figura y
denominamos L a la longitud del arco CD.
𝑺
𝟑𝑺
𝟓𝑺
𝟕𝑺
L
2L
3L
4L
Luego, aplicamos la propiedad:
3SS L4
Luego: L = 2(4) ∴ L = 8u
34
PROBLEMA 17
Si 𝑆1el área del sector circular COD y 𝑆2 es el
área del trapecio circular ABCD; además, se
cumple que 𝑆2 = 2𝑆1 + 8 , calcule 𝑆1 en
unidades cuadradas.
𝐴) 2/3 𝐵) 1
𝐶) 4/3
𝐷) 5/3 𝐸) 2 3L
𝑺𝟏
𝑺𝟐
AB
O
DC
L
35
Resolución:
3L
𝑺𝟏
𝑺𝟐
AB
O
DC
L
De la figura, piden: 𝑆1
→ 3𝑆1 + 8 = 9𝑆1
∴ 𝑆1 = 4/3
Sea: m<COD = θrad
θrad
Sabemos:
𝑆1+𝑆2
𝑆1
=
(3𝐿)2
2𝜃
𝐿2
2𝜃
→
𝑆1+𝑆2
𝑆1
= 9
→
𝑆1+2𝑆1+8
𝑆1
= 9
36
PROBLEMA 18
En la figura mostrada AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde
𝑂𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸, se sabe además que las áreas de la regiones AOB, BCDI y
DEFG son proporcionales a 3, 6 y 20. Calcule la medida del ángulo COD.
𝐴) 20𝑔 𝐵) 20°
𝐶) 30𝑔
𝐷) 30° 𝐸) 40𝑔
𝑂
𝐴
𝐻
𝐼
𝐶
𝐷
𝐺
𝐸
𝐹
37
Resolución:
De la condición:
Sea: OA = BC = DE = a
𝒂𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
𝑆𝐴𝑂𝐵
3
=
𝑆𝐵𝐶𝐷𝐼
6
=
𝑆𝐷𝐸𝐹𝐺
20
= 𝑺 → ቐ
𝑆𝐴𝑂𝐵 = 3𝑺
𝑆𝐵𝐶𝐷𝐼 = 6𝑺
𝑆𝐷𝐸𝐹𝐺 = 20𝑺
𝟐𝟎𝑺
6𝑺
3𝑺
Luego, observa que:
𝑚∢𝐶𝑂𝐷
2𝑆
=
𝑚∢𝐴𝑂𝐻
9𝑆
Es decir:
𝑚∢𝐶𝑂𝐷
2𝑆
=
90°
9𝑆
Despejando:
Completamos las áreas que 
se muestran a continuación:
2𝑺
4𝑺
12𝑺
∴ m<COD = 20º
38
PROBLEMA 19
Según la figura, con el trapecio circular ABCD se forma un tronco de cono
cuyas áreas de sus bases son 4𝜋𝑚2 y 9𝜋𝑚2. Calcule la medida del
ángulo central.
𝐴) 𝜋/4 𝐵) 𝜋/5
𝐶) 𝜋/6
𝐷) 𝜋/8 𝐸) 𝜋/9
𝑂
𝐵
𝐶
𝐴
𝐷
12
12
39
Resolución:
𝑂
𝐵
𝐶
𝐴
𝐷
12
12
a
b
𝐿1𝐿2
En la figura mostrada sean 𝐿1 y 𝐿2 las longitudes 
de los arcos BC y AD respectivamente: 
Nos piden la medida del ángulo central 
AOD: θrad 
θrad
Pero: θ = 
𝐿1−𝐿2
12
... (1)
Con el trapecio circular se forma el tronco de cono mostrado, donde 
las áreas de sus base son: 
4π𝑚2 = π𝑎2 → a = 2 → 𝐿2 = 2π(2) = 4π
9π𝑚2 = π𝑏2 → b = 3 → 𝐿1 = 2π(3) = 6π
En (1): θ = 
6𝜋−4𝜋
12
∴ θ = 
𝜋
6
40
PROBLEMA 19
En la figura mostrada con centro en O, A
y B se trazan los arcos de circunferencia
෢𝐴𝐵, ෢𝐶𝑂 y ෢𝑂𝐷 respectivamente. Halle el
perímetro de la región sombreada (en u)
si OA=5u.
𝐴)15𝜋/8
𝐶)25𝜋/6
𝐵)7𝜋/4
𝐷)35𝜋/3 𝐸)82𝜋/5 𝐴
𝐷
𝐶
𝐵
𝑂
41
𝐴
𝐷
𝐶
𝐵
𝑂
Resolución:
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
5𝑢
5𝑢
𝑙෢𝐶𝑂 =
𝜋
3
5𝑢
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
𝐴
𝐶
𝑂
𝐷
𝐶
𝑂
5𝑢
5𝑢
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
𝑙෢𝐶𝑂 =
𝜋
6
5𝑢
Se pide calcular el perímetro de la región sombreada : 2𝑝 = 𝑙෢𝐶𝑂 + 𝑙෢𝑂𝐷 + 𝑙෢𝐶𝐷
2𝑝 =
5𝜋
3
𝑢 +
5𝜋
3
𝑢 +
5𝜋
6
𝑢 ∴ 2𝑝 =
25π
6
𝑢
𝒍෢𝑪𝑶 = 𝒍෢𝑶𝑫
42
PROBLEMA 20
De la figura mostrada, la medida del ángulo
AOB es de 60°, P,Q y T son puntos de
tangencia; el radio del circulo inscrito es de 2u.
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑆2 − 𝑆1 (𝑒𝑛 𝑢
2)
𝐴)𝜋 𝐵)2𝜋
𝐶)3𝜋
𝐷)4𝜋 𝐸)5𝜋
O
A
P
Q
B
T60° 1S
O’
2S
43
Resolución:
O
A
P
Q
B
T60°
1S
O’
2S
De la figura:
Definimos el área S: 
2 3
2
30º
S
Trazamos 𝑂𝑇 que sería bisectriz del ángulo AOB:
30º
Trazamos 𝑂𝑃 que sería perpendicular a 𝑂𝐴:
Δ rectángulo OPO’: O’P = 2 → OP = 2 3
Observa que:
𝑆1+ S = S(POQ) = 
1
2
×
𝜋
3
× 2 3
2
... (1) 
𝑆2+ S = S = π 2
2 ... (2) 
(2) – (1): 𝑆2 - 𝑆1 = 4π – 2π ∴ 𝑆2 - 𝑆1 = 2π
44
PROBLEMA 21
Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 49º y su radio mide R.
Si el ángulo central se reduce en 13º y el radio se incrementa en “x”,
generándose un nuevo sector circular equivalente al original. Calcular: R/x
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
45
Resolución:
O D
C
BO
A
De los datos, tenemos dos situaciones:
1ra situación:
𝑆1
R
49º
Medida del ángulo central: 49º
Longitud del radio: R
R
2da situación:
Medida del ángulo central: 49º – 13º
𝑆1= 𝑆2
R + x 
36º
Longitud del radio: R + x
R + x 
𝑆2
Como son sectores equivalentes:
1
2
49𝜋
180
𝑅2=
1
2
36𝜋
180
(𝑅 + 𝑥)2 → 49 𝑅2 = 36 (𝑅 + 𝑥)2
→ 7R = 6R + 6x → R = 6x
∴
𝑅
𝑥
= 6
46
PROBLEMA 21
En un sector circular de perímetro 16cm y área máxima, se reduce el ángulo
central a su mitad y se incrementa el radio en 1cm; generándose un nuevo
sector circular. Calcula el área del nuevo sector circular en 𝑐𝑚2.
A) 3,5 B) 4 C) 4,5
D) 12,5 E) 25
47
Resolución:
Tenemos dos situaciones a analizar:
1er sector circular: Perímetro = 16cm
Como el área es máxima:
θ = 2
R = 4cm
L = 8cm
2do sector circular:
AO
B
R
L
θrad
R
C
O
D
1rad
R + 1 = 5cm
R + 1 = 5cm
El área de este sector COD se calcularía así:
S(COD) =
1(5)2
2
S(COD) = 12,5 𝑐𝑚2
48
PROBLEMA 22
En la figura AOB, COD y EOF son
sectores circulares, las áreas de las
regiones ABCD, CDEF y EOF son 𝑆3, 𝑆2
y 𝑆1; respectivamente, calcular: J =
𝑆3−𝑆1
𝑆1−𝑆2
𝐴) 6
𝐶) 12
𝐵) 9
𝐷) 18 𝐸) 24
O
S3
1
F
E
D
C
B
A
13
3
3
3
S2
S1
49
Resolución:
4θ
3θ
θrad
De la figura, sea: m<AOB = θrad
L(EF) = θ(3) = 3θ
L(CD) = θ(4) = 4θ
7θ
L(AB) = θ(7) = 7θ
Luego:
𝑆1 =
3𝜃(3)
2
=
9𝜃
2
= 9k
𝑆2 =
3𝜃+4𝜃 1
2
=
7𝜃
2
= 7k
𝑆3 =
4𝜃+7𝜃 3
2
=
33𝜃
2
= 33k
J =
𝑆3−𝑆1
𝑆1−𝑆2
J =
33𝑘−9𝑘
9𝑘−7𝑘 → J =
24𝑘
2𝑘
∴ J = 12
50