SEPARATA DE PROBLEMAS

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ARITMÉTICA 
 
 NÚMEROS PRIMOS 
 
1. ¿Cuántos números primos se representan 
con tres cifras en el sistema quinario, 
donde su última cifra es 2? 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
2. Si el número 𝑎𝑏0𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , es el resultado de 
multiplicar, números primos consecutivos, 
¿cuántos valores puede tomar 𝑎𝑏̅̅ ̅? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
3. Determine el menor número natural 
divisible por los números primos 𝑝, 𝑞 𝑦 𝑟 
sabiendo que se cumple 
𝑟 − 2𝑝 = 𝑞 𝑦 𝑟𝑞 + 𝑝2 = 676 
A) 2 001 B) 2 031 C) 2 061 
D) 2 301 E) 2 331 
 
4. Denotemos por 𝑃 al producto de los 
primeros 100 números primos, calcule el 
residuo que se obtiene al dividir 
a) 𝑃 entre 84 b) 𝑃2 entre 32 
A) 42; 8 B) 42; 4 C) 14; 8 
D) 14; 4 E) 42; 16 
 
5. Al descomponer canónicamente un número 
de tres cifras diferentes entre sí, se obtiene 
que sus cifras son sus únicos factores 
primos. Determine la suma de los divisores 
de dicho número. 
A) 624 B) 855 C) 1 080 
D) 1 236 E) 1 368 
 
6. ¿Cuál es el menor número por el cual hay 
que multiplicar a 120, para que el producto 
tenga 30 divisores? 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 15 
 
7. Sean, 𝑝 𝑦 𝑞 respectivamente el menor y 
mayor factor primo del número 
 𝑁 = 1 004 006 004 001. Calcule el valor de 
la suma 𝑞 + 𝑝. 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 26 E) 28 
 
8. Calcular la cantidad de números naturales 
menores que 100 que poseen solo un 
divisor primo y una cantidad par de 
divisores naturales. 
A) 25 B) 26 C) 27 
D) 28 E) 29 
 
9. Determine el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones 
I. Sean 𝑎 𝑦 𝑏 dos enteros positivos, 
entonces 𝑎𝑏 𝑦 (𝑎𝑏 + 1) son primos 
entre sí. 
II. Si 𝑎 𝑦 𝑏 son primos entre sí, 
entonces 𝑎𝑏 𝑦 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑚) son primos 
entre sí, donde 𝑚 𝑦 𝑛 son enteros 
positivos. 
III. Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son primos entre sí, 
entonces 
 𝐶𝐷(𝐴. 𝐵. 𝐶) = 𝐶𝐷(𝐴). 𝐶𝐷(𝐵). 𝐶𝐷(𝐶) 
A) VVV B) VVF C) FVV 
D) FFF E) VFF 
 
10. Al construir la tabla de divisores de un 
número que solo tiene dos factores primos, 
resulta ser una tabla que posee cuatro filas 
y tres columnas. Determine la suma de los 
divisores de dicho número, sabiendo que el 
cociente del mayor elemento de la cuarta 
fila entre el menor elemento de la tercera 
fila es 175. 
 
 
 
 
A) 10 200 B) 11 400 C) 12 400 
D) 13 200 E) 14 200 
 
11. ¿Cuántos polígonos regulares, cuyos 
lados miden un número entero en metros 
existen, de modo que su perímetro sea 17 
640 metros y la cantidad de lados sea un 
número impar? 
A) 13 B) 15 C) 16 
D) 17 E) 18 
 
12. ¿Cuántos números de la forma 
(2𝑎)(2𝑏)𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, con 𝑎 > 𝑏 tienen 16 divisores 
enteros? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
13. Si 𝑁 = 1400 × 3𝑛 tiene 16 divisores 
naturales que son impares y múltiplos de 
cinco, calcule la cantidad de divisores 
naturales de 𝑁 que son múltiplos de siete 
pero no múltiplos de cinco. 
A) 9 B) 16 C) 18 
D) 20 E) 25 
 
14. Sea N un número de dos cifras que 
tienen tres divisores no compuestos y el 
producto de sus divisores tiene 65 
divisores. Determine la suma del mínimo y 
máximo valor que puede tomar N. 
A) 80 B) 88 C) 110 
D) 112 E) 128 
 
15. Si a un número entero se divide entre 
25, la cantidad de divisores disminuye en 
16. ¿En cuánto aumenta el número de 
divisores si se multiplica por 125? 
A) 16 B) 24 C) 30 
D) 48 E) 50 
 
 
 
 
16. Si la raíz cuadrada de 𝑁 = 22𝑘 ×
32𝑘−2 × 52𝑘+2 con 𝑘 ∈ 𝑍+, tiene 60 divisores 
naturales, ¿cuántos divisores naturales de 
𝑁 son múltiplos de 12 pero no múltiplos de 
5? 
A) 15 B) 16 C) 20 
D) 21 E) 30 
 
17. Un número natural N posee 18 divisores 
enteros que son compuestos, además la 
suma de sus divisores naturales es 403. 
Calcula la suma de las inversas de los 
divisores naturales de N que sean múltiplos 
del mayor de sus factores primos. 
A) 
31
24
 B) 
31
72
 C) 
35
36
 
D) 
123
144
 E) 
13
72
 
 
18. El número 𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅ posee 20 divisores 
positivos, de los cuales 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 no son 
primos. Calcule el valor de 𝑎 × 𝑏 + 𝑐. 
A) 14 B) 24 C) 32 
D) 38 E) 52 
 
19. Considerando solo divisores positivos, 
determine un número N de cinco cifras con 
cuatro divisores primos y 91 divisores 
compuestos, tal que si se divide N entre 16; 
49 y 27 se obtiene como residuo 8; 35 y 9 
respectivamente. Dar como respuesta la 
suma de las cifras de N. 
A) 6 B) 8 C) 9 
D) 12 E) 18 
 
20. Sabiendo que 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 4𝑐 + 3; 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 8𝑏 + 1 
y 𝑁 = 𝑎𝑎 × 𝑏 × 𝑐 × 𝑑, es la descomposición 
canónica de 𝑁, donde además la suma de 
los divisores positivos de 𝑁 es 84 veces la 
cantidad de divisores positivos. Determine 
la suma de cifras de 𝑁. 
A) 12 B) 14 C) 15 
D) 18 E) 20 
 
 
 
21. Si expresamos 20202942 en el sistema 
heptanario, ¿cuál es la suma de las tres 
últimas cifras en que termina? 
 
A) 6 B) 8 C) 9 
D) 11 E) 12 
 
22. Sabiendo que 35𝑛 tiene 𝑎4̅̅̅̅ divisores 
positivos, ¿cuántos divisores positivos 
tendrá 𝐸 = 33𝑛 − 33𝑎? 
 
A) 280 B) 286 C) 290 
D) 294 E) 296 
 
23. Si la suma de los divisores de 24! es 𝐾, 
¿cuál es la suma de los divisores de 25! 
que son múltiplos de 5? 
 
A) 
3 906𝑘
781
 B) 
19 530𝑘
731
 C) 
3 906𝑘
871
 
D) 
1 953𝑘
871
 E) 
19 530𝑘
781
 
 
 
 
 
24. Se tiene un número de tres cifras, 
múltiplo de 30, que tiene un total de 24 
divisores, al multiplicarlo por 10 se forma un 
nuevo número cuya cantidad de divisores 
es 
15
8
 de la cantidad de divisores del número 
original. Calcule la suma de cifras del 
menor número que cumple las condiciones 
indicadas. 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
25. Sea 𝑛 = 𝑝1
𝛼 × 𝑝2
𝛽 × 𝑝3
𝛾, la 
descomposición canónica de 𝑛, además se 
cumple 
a) 𝜙(𝑛) = 480 b) 25|𝑛, 8|𝑛 
 c) 125 ∤ 𝑛, 64 ∤ 𝑛 
¿Cuántos valores puede tomar n? 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5