Clase-5--DERIVADAS-(A)

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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°:5. Derivadas (Parte A) 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
Estudio del límite de las razones de cambio. 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
3. Desarrollo: 
DERIVADAS 
Dada una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥), consideremos un valor de su dominio 𝐷 al que 
llamaremos 𝑥 . 
Si ahora consideramos otro valor del dominio de la función al que llamamos 𝑥, la 
diferencia: 𝑥 − 𝑥 es el incremento de la variable x, cuya notación es Δ𝑥. 
Como se puede observar en el siguiente gráfico la imagen de 𝑥 es 𝑓(𝑥 ) y 
análogamente la de 𝑥 es 𝑓(𝑥). 
 
Derivada 
Derivada 
por 
Definición 
Derivación por 
tabla 
En un valor x0 Función derivada 
Derivadas 
laterales 
Interpretación 
geométrica 
Recta tangente y 
normal 
Propiedades Reglas de 
Derivación 
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En este caso tenemos un incremento de la variable 𝑥: ∆𝑥 y una variación o incremento 
de la variable 𝑦: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 ) (Si 𝑓(𝑥) fuera una función constante, 
entonces: ∆𝑦 = 0) 
Al cociente: 
∆
∆
 se lo llama razón de cambio promedio o cociente incremental 
Veamos un ejemplo: 
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, un valor inicial 𝑥 = 1 y un incremento de la variable 
independiente: ∆𝑥 = 3 hallar el cociente incremental: 
𝒙𝟎 = 𝟏 
∆𝒙 = 𝟑 
𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥 ⇒ 𝑥 = 1 + 3 ⇒ 𝒙 = 𝟒 
𝑓(𝑥 ) = 𝑓(1) ⇒ 𝑓(𝑥 ) = 1 + 1 ⇒ 𝒇(𝒙𝟎) = 𝟐 
𝑓(𝑥) = 𝑓(4) ⇒ 𝑓(𝑥) = 4 + 1 ⇒ 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟕 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 ) ⇒ ∆𝑦 = 17 − 2 ⇒ ∆𝒚 = 𝟏𝟓 
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Entonces el cociente incremental es: 
∆𝑦
∆𝑥
=
15
3
= 5 
¿Pero qué significa este último valor? 
Conceptualmente podemos decir que en promedio cada vez que la variable 𝒙 aumenta 
1 unidad la variable 𝒚 aumenta 5 unidades. 
Aclaración: En este ejemplo decimos que la variable 𝒚 aumenta porque el cociente 
incremental 
∆
∆
 arrojó un resultado positivo con un ∆𝑥 > 0. 
Es importante destacar que el cociente incremental nos brinda una información del 
comportamiento de la función en valores promedio, como si en el intervalo[1; 4] 
evolucionara de manera lineal: 
Sin embargo, podemos observar que por no ser 𝑓(𝑥) una función lineal, no ocurre 
realmente que en el intervalo [1; 4] cada vez que la variable 𝒙 aumenta 1 unidad, la 
variable 𝒚 aumenta 5 unidades: 
 
 
 
 
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x 𝑦 = 𝑥 + 1 ∆𝑦 
1 2 
 3 
2 5 
 5 
3 10 
 7 
4 17 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) EN UN VALOR 𝑥 = 𝑥 : 
Dada una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥), y un valor 𝑥 de su dominio donde 𝑓(𝑥) es 
continua, si deseamos saber cuál es la variación instantánea de la variable y ante un 
incremento instantáneo de la variable 𝒙 debemos hacer que este incremento ∆𝑥 sea lo 
más pequeño posible, es decir debemos hacer que ∆𝑥 tienda a 0: 
lim
∆ →
∆𝑦
∆𝑥
 
A este límite, si existe, se lo llama derivada de la función 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥 
𝑓´(𝑥 ) = lim
∆ →
∆
∆
 (𝑓´es una de las notaciones para la derivada de la función f). 
Ahora bien: ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥 y ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 ) 
Además, si ∆𝑥 → 0 significa que: 𝑥 → 𝑥 
Por lo tanto: 
 
 
Esta última expresión nos permite calcular, si existe, la derivada de una función 𝑓(𝑥) en 
un valor 𝑥 = 𝑥 . 
Ejemplo: Hallar 𝑓´(1) para 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
𝑥 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(1) = 1 + 1 = 2 
𝑓´(𝑥 ) = lim
→
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 )
𝑥 − 𝑥
 
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Reemplazando en la expresión de derivada: 
𝑓´(1) = lim
→
𝑥 + 1 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
 ⇒ 
⇒ 𝑓´(1) = lim
→
𝑥 + 1 − 2
𝑥 − 1
⇒ 
⇒ 𝑓´(1) = lim
→
𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
→ 0
→ 0
 
Salvando la indeterminación del límite: 
⇒ 𝑓´(1) = lim
→
( ).( )
⇒ 
⇒ 𝑓´(1) = 2 
Una de las interpretaciones que podemos hacer de este resultado es la siguiente: 
Para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, ante un incremento instantáneo de la variable 
independiente 𝒙 se produce un aumento instantáneo de la variable dependiente 𝒚 de 2 
unidades. 
Podemos decir que en este caso se trata de un aumento de la variable 𝒚 dado que la 
derivada arrojó un valor positivo. 
 
FUNCIÓN DERIVADA 
Dada una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥) la función derivada es: 
 
 
 
Donde x es cualquier valor del doninio de 𝑓(𝑥) donde es continua y h es un incremento 
de la variable x. 
Ejemplos: 
1) Dada la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 , hallar 𝑓´(𝑥) 
𝑓´(𝑥) = lim
→
( ) ( )
 
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𝑓´(𝑥) = lim
→
√𝑥 + ℎ − √𝑥
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
Salvando la indeterminación del límite: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
√𝑥 + ℎ − √𝑥
ℎ
∙
√𝑥 + ℎ + √𝑥
√𝑥 + ℎ + √𝑥
 
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
√ √
. √ √
 
𝑓´(𝑥) = lim
→ . √ √
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
1
√𝑥 + ℎ + √𝑥
 
𝑓´(𝑥) =
1
2. √𝑥
 
Conociendo la función derivada 𝑓´(𝑥) podemos hallar la derivada de la función 𝑓(𝑥) 
para cualquier valor 𝑥 de su dominio, siempre que en 𝑥 = 𝑥 𝑓(𝑥) sea derivable. 
Así por ejemplo: 
𝑓´(4) =
1
2. √4
=
1
4
 
𝑓´(9) =
1
2. √9
=
1
6
 
2) Hallar 𝑓´(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 
Entonces: 𝑓´(𝑥) = lim
→
( )
=
→
→
 
Debemos salvar la indeterminación del límite: 
Por propiedad del logaritmo del cociente: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
𝑙𝑛
ℎ
 
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Distribuyendo x en la suma: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
𝑙𝑛 1 +
ℎ
 
Multiplicando numerador y denominador por : 
𝑓´(𝑥) = lim
→
∙
∙
 
Por propiedad del logaritmo de la potencia: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
𝑙𝑛 1 +
ℎ
𝑥
 
Por propiedad del límite del logaritmo: 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛 lim
→
1 +
ℎ
𝑥
 
Podemos observar que el límite presenta una indeterminación del tipo: 1 
Multiplicando y dividiendo el exponente por : 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛 lim
→
1 +
∙ ∙
 
Operando en el exponente: 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛 lim
→
1 +
ℎ
𝑥
∙
 
Por propiedad de potencia de potencia: 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛 lim
→
1 +
ℎ
𝑥
 
Resolviendo el límite: 
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𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑒 
Por propiedad del logaritmo de una potencia: 
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
∙ ln 𝑒 
O sea: 
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
 
 
3) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 hallar 𝑓´(𝑥) 
𝑓´(𝑥) = lim
→
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
Para salvar esta indeterminación podemos usar la siguiente identidad trigonométrica: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2. 𝑠𝑒𝑛
𝛼 − 𝛽
2
∙ cos
𝛼 + 𝛽
2
 
Considerando a 𝑥 + ℎ como 𝛼 y a 𝑥 como 𝛽: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
2. 𝑠𝑒𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠
ℎ
 
Por propiedad del límite del producto: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
.
∙ lim 
→
 𝑐𝑜𝑠
.
 
En el primer límite multiplicando y dividiendo el denominador por 2 y simplificando: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
.
𝟐
.𝟐
∙ lim 
→
 𝑐𝑜𝑠
.
 
Resolviendo estos límites: 
𝑓´(𝑥) = 1. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Osea: 
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𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
También se puede utilizar la siguiente identidad trigonométrica para salvar la 
indeterminación del límite y hallar 𝑓´(𝑥): 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽, considerando a 𝑥 como 𝛼 y a ℎ como 𝛽 en 
la expresión 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ℎ) 
 
4) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑘 (Donde k es una constante) hallar 𝑓´(𝑥) 
𝑓´(𝑥) = lim
→
 (Ante un incremento ℎ, 𝑓(𝑥)sigue valiendo 𝑘 por tratarse de una 
función constante). 
𝑓´(𝑥) = lim
→
0
ℎ
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
0 
𝑓´(𝑥) = 0 
 
TABLA DE DERIVADAS 
Así como hemos obtenido la derivada de ciertas funciones podemos hacerlo con el resto 
de las funciones más conocidas y construir lo que se denomina una tabla de derivadas: 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) Ejemplos 
K (constante) 0 Si 𝑓(𝑥) = 5 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 0 
k.x (Con k constante) k Si 𝑓(𝑥) = 3.𝑥 ⇒ 𝑓(´𝑥) = 3 
x 1 
𝑥 𝑛. 𝑥 Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 4. 𝑥 
√𝑥 1
2. √𝑥
 
 
ln 𝑥 1
𝑥
 
 
𝑙𝑛|𝑥| 1
𝑥
 
 
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𝑒 𝑒 
𝑎 𝑎 . 𝑙𝑛𝑎 𝑓(𝑥) = 3 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 3 . 𝑙𝑛3 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) Ejemplos 
𝑐𝑠𝑐 𝑥 −𝑐𝑠𝑐 𝑥 . cot 𝑥 
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . tan 𝑥 
cot 𝑥 −𝑐𝑠𝑐 𝑥 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1
√1 − 𝑥
 
 
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
−
1
√1 − 𝑥
 
 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
1
1 + 𝑥
 
 
 
DERIVADAS LATERALES 
La siguiente expresión: 𝑓´(𝑥 +) = lim
→
( ) ( )
 es la derivada por derecha de 
la función 𝑓(𝑥) en 𝑥 . 
Del mismo modo: 𝑓´(𝑥 −) = lim
→
( ) ( )
 es la derivada por izquierda de la 
función 𝑓(𝑥) en 𝑥 . 
Para que exista la derivada de una función en un valor 𝑥 de su dominio donde la misma 
es continua, sus derivadas laterales deben ser finitas e iguales. 
𝑓´(𝑥 +) = 𝑓´(𝑥 −) 
En este caso diremos que 𝑥 es un punto ordinario. 
Ejemplo: a) Determinar si la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| es continua en 𝑥 = 0. 
 b) Analizar si 𝑓(𝑥) es derivable en dicho punto. 
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La función 𝑓(𝑥) = |𝑥| puede definirse como: 
|𝑥| =
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
 
 
a) Analizamos la continuidad en 𝑓(𝑥) = |𝑥| : 
I) 𝑓(0) = |0| = 0 
II) 
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
(−𝑥) = 0
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑥 = 0
⇒ lim
→
𝑓(𝑥) = 0 
III) De I) y II): 𝑓(0) = lim
→
𝑓(𝑥) 
Por lo tanto: 𝑓(𝑥) = |𝑥| es continua en 𝑥 = 0 
a) Analizamos la derivabilidad en 𝑥 = 0: 
𝑓´(0 −) = lim
→
= lim
→
(−1) = −1 (1) 
𝑓´(0 +) = lim
→
= lim
→
1 = 1 (2) 
De (1) y (2): 𝑓´(0 −) ≠ 𝑓´(0 +) 
En consecuencia: 𝑓(𝑥) = |𝑥| no es derivable en 𝑥 = 0. 
 
 
 
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TEOREMA: LA DERIVABILIDA IMPLICA LA CONTINUIDAD 
Si una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en un valor 𝑥 de su dominio, 
entonces 𝑓(𝑥) es continua en 𝑋 . 
 Tenemos entonces: 
Hipótesis: ∃𝑓´(𝑥 ) (significa que 𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 ). 
Tesis: 𝑓(𝑥 ) = lim
→
𝑓(𝑥) (significa que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 ). 
Demostración: 
Consideremos la siguiente igualdad: 
𝑓(𝑥) =
( ) ( )
∙ (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) (Si operamos en el segundo miembro de la 
igualdad llegamos a la expresión del primer miembro, con lo cual esta igualdad es 
verdadera). 
A ambos miembros de esta igualdad aplicamos límite para x tendiendo a 𝑥 : 
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
( ) ( )
∙ (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) 
Aplicando propiedades del límite en el segundo miembro: 
 lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
( ) ( )
∙ lim
→
(𝑥 − 𝑥 ) + lim
→
𝑓(𝑥 ) 
Resolviendo los límites del segundo miembro: El primer límite es la derivada de 𝑓(𝑥) 
en 𝑥 , el segundo límite da 0 y el tercero es el límite de una constante: 
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥0). 0 + 𝑓(𝑥0) 
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) 
De tal manera que la propiedad queda demostrada. 
Aclaración: el hecho de que 𝑓(𝑥) sea derivable en 𝑥 , nos permite afirmar que: 
𝑓´(𝑥 ). 0 + 𝑓(𝑥 ) = 0 + 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) 
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 El recíproco del teorema quedaría enunciado como: 
“Si una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en un valor 𝑥 de su dominio, entonces 
𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 .” 
Pero este último enunciado no es válido. 
Existen funciones que son continuas en algún valor 𝑥 de su dominio y sin embargo en 
dicho valor no son derivables (Como por ejemplo la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| en 𝑥 = 0). 
 El contrario del teorema quedaría enunciado como: 
“Si una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥) no es derivable en un valor 𝑥 de su dominio, 
entonces 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 .” 
Pero este último enunciado no es válido. 
Existen funciones que no son derivables en algún valor 𝑥 de su dominio y sin embargo 
en dicho valor son continuas (Como por ejemplo la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| en 𝑥 = 0). 
 El contrarrecíproco del teorema quedaría enunciado como: 
“Si una función 𝑓: 𝐷 → ℝ/𝑦 = 𝑓(𝑥) no es continua en un valor 𝑥 de su dominio, 
entonces 𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥 .” 
Este enunciado es válido. 
Si a priori se sabe que en un valor 𝑥 una función 𝑓(𝑥) no es continua, entonces 
estamos en condiciones de afirmar que en 𝑥 𝑓(𝑥) no es derivable. 
Ejemplo: 
 𝑓(𝑥) = 2. 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
2. 𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 no es continua en 𝑥 = 3 ya que en ese punto presenta una 
discontinuidad esencial de primer especie (Salto finito): 
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
(2. 𝑥 + 1) = 7 
 
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
(2. 𝑥 − 5) = 1 
Por lo tanto podemos afirmar que no es derivable en 𝑥 = 3. 
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CASOS EN QUE UNA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) NO ES DERIVABLE EN ALGÚN VALOR 
𝑥 
a) Cuando la función no es continua en 𝒙𝟎. 
Ejemplo: 
𝑓(𝑥) =
2. 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
2. 𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 en 𝑥 = 3 (Vista en el ejemplo anterior) 
b) Cuando en 𝑥 la función es continua y tiene derivadas laterales finitas y distintas 
(Punto anguloso). 
Ejemplo: 
𝑓(𝑥) = |𝑥| en 𝑥 = 0 (Analizada anteriormente). 
c) Cuando en 𝑥 la función es continua y tiene derivadas laterales infinitas y del 
mismo signo (Punto de Inflexión). 
Ejemplo: 
𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 0 
 
 
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𝑓´(0 −) = +∞ 𝑓´(0 +) = +∞ 
 
d) Cuando en 𝒙𝟎 la función es continua y tiene derivadas laterales infinitas y 
de distinto signo (Punto Cuspidal). 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 
 
 
𝑓´(0 −) = −∞ 𝑓´(0 +) = +∞ 
 
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 
El siguiente gráfico nos muestra una función 𝑓(𝑥) continua en un valor 𝑥 de su 
dominio y una recta secante a la curva de 𝑓(𝑥) que pasa por los puntos 𝑃 = 𝑥 ;𝑓(𝑥 ) 
y 𝑄 = 𝑥; 𝑓(𝑥) 
 
 
La pendiente de la recta secante es: 
𝑚 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 )
𝑥 − 𝑥
 
Si aplicamos límite para 𝑥 → 𝑥 en ambos miembros, tenemos: 
lim
→
𝑚 = lim
→
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 )
𝑥 − 𝑥
 
 
El límite del primer mimbro es la pendiente de la recta tangemte a la curva de 𝑓(𝑥) que 
pasa por el punto 𝑃 = 𝑥 ;𝑓(𝑥 ) . Pues si 𝑥 tiende a 𝑥 , entonces el punto Q tiende al 
punto P y la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q (𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑚 ) tiende a la 
pendiente de la recta tangente a la curva de 𝑓(𝑥) que pasa por P (𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑚 ) : 
 
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Mientras que el límite del segundo miembro como ya se ha visto, es la derivada de la 
función 𝑓(𝑥) en 𝑥 . 
Por lo tanto: 
𝑚 = 𝑓´(𝑥 ) 
Esta última igualdad nos dice: La derivada de una función 𝑓(𝑥) en un valor 𝑥 de su 
dominio, si existe, es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva 
de 𝑓(𝑥) que pasa por el punto 𝑥 ;𝑓(𝑥 ) . 
 
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE 
La Ecucuación de una recta que pasa por un punto de coordenadas 𝑥 ;𝑦 y cuya 
pendiente es m, es: 
𝑦 − 𝑦 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥 ) 
Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada, la ecuación de la recta 
tangente a la curva de una función 𝑓(𝑥) en un punto de coordenadas 𝑥 ;𝑓(𝑥 ) es: 
𝑦 − 𝑓(𝑥 ) = 𝑓´(𝑥 ). (𝑥 − 𝑥 ) 
 
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ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL 
Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, sus pendientes son opuestas y 
recíprocas, por lo tanto la ecuación de la recta normal a la curva de una función 𝑓(𝑥) en 
un punto de coordenadas 𝑥 ;𝑓(𝑥 ) es: 
𝑦 − 𝑓(𝑥 ) = −
1
𝑓´(𝑥 )
∙ (𝑥 − 𝑥 ) 
Ejemplo: Hallar las ecuaciones de lasrectas tangente y normal a la curva de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 en 𝑥 = 1 
𝑥 = 1 
𝑓(𝑥 ) = 1 + 2 = 3 
𝑓´(𝑥) = 3. 𝑥 
𝑓´(𝑥 ) = 3. 1 = 3 
 Ecuación de la recta tangente: 
𝑦 − 3 = 3. (𝑥 − 1) ⇒ 𝒚 = 𝟑. 𝒙 
Ecuación de la recta normal: 
𝑦 − 3 = −
1
3
. (𝑥 − 1) ⇒ 𝒚 = −
𝟏
𝟑
. 𝒙 +
𝟏𝟎
𝟑
 
 
 
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REGLAS DE DERIVACIÓN 
Se puden demostrar las siguientes propiedades, que tomaremos como reglas de 
derivación: 
1) 𝑺𝒊 𝒇(𝒙) = 𝒌. 𝒖(𝒙) (Donde k es una constante)⇒ 𝑓´ = 𝑘. 𝑢´(𝑥) 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 5. 𝑥 
𝑓´(𝑥) = 5.3. 𝑥 = 15. 𝑥 
2) Si 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙) ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) + 𝑣´(𝑥) 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √𝑥 
𝑓´(𝑥) = 4. 𝑥 +
.√
 (Si racionalizamos: 𝑓´(𝑥) = 4. 𝑥 +
√
.
 ) 
3) Si 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙). 𝒗(𝒙) ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 
𝑓´(𝑥) = cos 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
(Si efectuamos el producto en el segundo término: 
𝑓´(𝑥) = cos 𝑥. ln 𝑥 +
 
 ) 
4) Si 𝒇(𝒙) =
𝒖(𝒙)
𝒗(𝒙)
(𝑪𝒐𝒏 𝒗(𝒙) ≠ 𝟎) ⇒ 𝑓´(𝑥) =
´( ). ( ) ( ). ´( )
[ ( )]
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 
𝑓´(𝑥) = 
. . .( )
( )
 (Efectuando el producto en el segundo término del 
numerador: 𝑓´(𝑥) = 
. . . 
( )
 
 
4. Bibliografía: 
PURCELL, E; VARBERG, D (1993). Cálculo con Geometría Analítica. México. 
Prentice-Hall; 6ª ed. Capítulo 3; 
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 RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª edición. Capítulos: 7,8; 
AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición. Nociones de Cálculo 7,8. 
 
5. Actividad pedagógica: 
Resolución de los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos de Matemática I del 
Departamento de Ciencias Económicas 
TRABAJO PRÁCTICO : DERIVADAS (A) 
Los ejercicios indicados con (†) son obligatorios. 
 
Nota: Los siguientes ejercicios son de carácter obligatorio: 
1) b, c, d, e, f, h, j, n. 
2) a, b, c, d, f, h, i, j. 
3) a, d. 
7) a, b. 
 
1) Derivar las siguientes funciones por definición: 
Utilizar la definición de derivada “en un punto”:
0
0
0 x-x
)()(
)(
xfxf
xf



 lim
0xx
o de 
“función derivada”
h
)()(
)(
xfhxf
xf



 lim
0h
 . 
a) 2xy  (†) e) (x) cosy  i) 2-x
1x
y

 
(†) b) 23xy 2  (†) f) xlny  (†) j) 2xy  
(†) c) 62x4xy 23  g) 
xey  k) 3-1)-(xy
2 
(†) d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) (†) h) 
x
1
y 
 
l) x--xy 2 
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m) 1xy 2  𝑒𝑛 𝑥 = 2 (†) n) en 32x-xy 3  𝑥 = 1 
 o) enx y  𝑥 = 4 p) x -x2y 4 𝑒𝑛 𝑥 = −2 
2) Derivar las siguientes funciones “por tabla”: 
(†) 𝑎) 𝑦 = 6x + ln x 
(†) 𝑏) 𝑦 = √𝑥 + √𝑥 − √𝑥 
(†) 𝑐) 𝑦 = 6 ln x − tan x 
(†) 𝑑) 𝑦 = 2 e − 3 ln x + 𝑥 
𝑒) 𝑦 = 𝑥 cos x 
(†) 𝑓) 𝑦 = √𝑥 cos 𝑥 
𝑔) 𝑦 = 𝑥 𝑥 
(†) ℎ) 𝑦 = (5𝑥 − 2) 𝑙𝑛𝑥 
(†) 𝑖) 𝑦 =
1 + 𝑥
𝑥 + 1
 
(†) j) 𝑦 =
1-sen x
sen x
 
k) 𝑦 = tan x 
l) 𝑦 = √𝑥 + √𝑥 + 
3) Analizar la existencia de la derivada y clasificar: 
a) (†) En 𝑥 = 2 si 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 si 𝑥 ≤ 2
𝑥 − 2 si 𝑥 > 2
 
b) en este caso cuanto debe valer “a” y “b” para que la función sea derivable 
en 𝑥 = 1 
𝑓(𝑥)
𝑥 − 5x + 𝑎 si 𝑥 ≤ 1
−𝑥 + bx si 𝑥 > 1
 
c) En 𝑥 = 3 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| 
d) (†) En 𝑥 = 1si 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 si 𝑥 ≤ 1
-x + 3 si 𝑥 > 1
 
 e) En 𝑥 = 0 si 𝑓(𝑥) = √𝑥
 
1) Sea f:𝑅 − [0 ; 1]→𝑅; 4x)ln(xf(x) 2  , Hallar todos los puntos (𝑥; 𝑓(𝑥)) en 
los cuales la recta tangente tiene pendiente 
2
3
 . 
6) Teniendo la siguiente función 𝑓(𝑥) = ln(25 x + 4) se pide encontrar los puntos 
donde la pendiente de la recta tangente al gráfico en dichos puntos sea igual a 2. 
7) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función: 
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(†) a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑒𝑛 𝑥 = 1 . Graficar 
(†) b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑒𝑛𝑥 = −1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥𝑠𝑖𝑥 < 1
𝑥 − 4𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥 ≥ 1
 𝑒𝑛 𝑥 = 1 
RESPUESTAS: 
1) a) 2x b) 6x c) 4x12x2  d) xcos e) xsin f) 
x
1 g) xe 
h) 
2x
1
 i) 
22)-x(
3 j) 
2x 2
1
 k) 2 x - 2 l) - 2 x – 1 m) 4 n) 1 P)-65 
2) a) 
x
1
 x18y´ 2  g) 1an xa)2(ny´  
b) 2
1
3
2
5
4
x
2
1
x
3
1
x
5
1
y´

 h) 
x
1
 2)(5x xln x15y´ 32  
c) xsec
x
6
y´ 2 i) 2
2
1)(x
12xx
y´


 
d) 1
x
3
e 2y´ x  j) 
2 x)sin(1
 xcos 2
y´


 
e) xsin x xcos x4y´ 43  k) xsecy´ 2 
f) xsin x xcos 
x 5
1
y´ 5
5 4
 l) 23 2
1
3
1
x2
1
y´
xx
 
 
3)a) No, las derivadas laterales son finitas y distintas, “punto anguloso” 
b) 𝑏 = −1 , 𝑎 = 2c) No, las derivadas laterales son finitas y distintas, “punto 
anguloso”. 
d) No es continua. 
e) No, las derivadas laterales son infinitas , de igual signo, “ punto de inflexión” 
4)a)
x
1
sen(5x) 5y´  








(5x)sen
5
sen(5x)
cos(5x) sen(3x) 3
e y´e)
2
cos(3x) 
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b) y’ = - csc x 
2x92 y´f)  
x 4)(x
1
 y´c)

 h) 1)x xln(x xy´ x 
 
 x2
3
 y´d)  x x)(cos x)tan( x x)ln(cos 
x2
1
 y´i) 






 
j) 
xsen
x cos
y´
2

 k) 𝑦´ =
( )
 
l) 𝑦´ =
( ) √
 m) 𝑦´ = 
n) 𝑦´ = 𝑒 2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + o) 𝑦´ = 𝑆𝑒𝑛( √ ) 
√ ( )
 
p)𝑦´ = ( ( )) 
5)  1;4,7 6) 1 24 1P ( ;ln20) P ( ;ln5)5 5  
7) a) 𝑦 = 2𝑥𝑦 = − 𝑥 + b) 𝑦 = −7𝑥 − 5 𝑦 = 𝑥 + 
c) 𝑦 = −𝑥 − 1 𝑦 = 𝑥 − 3 
 
6. Material complementario de la clase: 
 
a) Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y 
enriquecerte mucho más: 
 
Ejercicio 1: Hallar la derivada, por definición, de 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2 en 𝑥 = 2. 
Por definición la derivada de una función 𝑓(𝑥)en un valor 𝑥 de su dominio es: 
𝑓´(𝑥 ) = lim
→
( ) ( )
 si este límite existe. 
Para 𝑓(𝑥) = √3. 𝑥 − 2 y 𝑥 = 2 tenemos: 
𝑓´(2) = lim
→
√3. 𝑥 − 2 − √3.2 − 2
𝑥 − 2
⇒ 
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𝑓´(2) = lim
→
√ . = 
→
→
 
Para encontrar una función equivalente a 𝑓(𝑥) cuyo límite pueda determinarse cuando 
la variable 𝑥 tiende a 2 (Es decir para salvar la indeterminación del límite): 
1° Racionalizamos: 
𝑓´(2) = lim
→
√3. 𝑥 − 2 − 2
𝑥 − 2
∙
√3. 𝑥 − 2 + 2
√3. 𝑥 − 2 + 2
⇒ 
Recordemos que:(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 − 𝑏 
⇒ 𝑓´(2) = lim
→
√3. 𝑥 − 2 − 2
(𝑥 − 2). √3. 𝑥 − 2 + 2
 
⇒ 𝑓´(2) = lim
→
3. 𝑥 − 2 − 4
(𝑥 − 2). √3. 𝑥 − 2 + 2
 
⇒ 𝑓´(2) = lim
→
3. 𝑥 − 6
(𝑥 − 2). √3. 𝑥 − 2 + 2
 
2° Factorizamos el numerador: 
𝑓´(2) = lim
→
3. (𝑥 − 2)
(𝑥 − 2). √3. 𝑥 − 2 + 2
 
3° Simplificamos 𝑥 − 2: 
𝑓´(2) = lim
→
3
√3. 𝑥 − 2 + 2
 
4° Resolvemos el límite: ∴ 𝑓´(2) = 
Ejercicio 2: Hallar la derivada, por definición, de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 en 𝑥 = 9. 
Por definición la derivada de una función 𝑓(𝑥)en un valor 𝑥 de su dominio es: 
𝑓(𝑥 ) = lim
→
( ) ( )
 si este límite existe. 
Para 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 y 𝑥 = 9 tenemos: 
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𝑓´(9) = lim
→
√𝑥 − 1 − √9 − 1
𝑥 − 9
=
→ 0
→ 0
 ⇒ 
Para encontrar una función equivalente, proponemos el siguiente cambio de variable: 
√𝑥 − 1 = 𝑡 
Entonces 𝑥 expresado en función de t será: 𝑥 = 𝑡 + 1 
Además: lim
x→9
√x − 1
3
= 2 . Es decir que si x tiende a 9 entonces t tiende a 2. 
Efectuando el cambio de variable: 
𝑓´(9) = lim
→
 
𝑡 − 2
𝑡 + 1 − 9
 ⇒ 
⇒ 𝑓´(9) = lim 
→
𝑡 − 2
𝑡 − 8
 ⇒ 
Factorizando el denominador, (recordar que 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 2𝑎 + 𝑏 )): 
𝑓´(9) = lim 
→
𝑡 − 2
(𝑡 − 2). (𝑡 + 2. 𝑡 + 4)
 
Simplificando: 
𝑓´(9) = lim 
→2
1
𝑡2 + 2. 𝑡 + 4
⇒ 
Resolviendo el límite: ∴ 𝑓´(9) =
1
12
 
Ejercicio 3: Hallar la función derivada por definición, de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 . 
Podemos utilizar la forma: 𝑓´(𝑥) = lim
→
( ) ( )
 
Si: 𝑓(𝑥) = 5𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥 + ℎ) = 5(𝑥 + ℎ) entonces: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
5. (𝑥 + ℎ) − 5. 𝑥
ℎ
 
Desarrollamos el cubo del binomio, recordar: (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 + 𝑏 
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
5. (𝑥 + 3. 𝑥 . ℎ + 3. 𝑥. ℎ + ℎ ) − 5. 𝑥
ℎ
 
Aplicamos propiedad distributiva del producto respecto de la suma: 
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𝑓´(𝑥) = lim
→
5. 𝑥 + 15. 𝑥 . ℎ + 15. 𝑥. ℎ + 5. ℎ − 5. 𝑥
ℎ
 
Cancelamos 5. 𝑥 y extraemos factor común ℎ: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
ℎ. (15. 𝑥 + 15. 𝑥. ℎ + 5. ℎ )
ℎ
 
Simplificamos ℎ: 
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
(15. 𝑥 + 15. 𝑥. ℎ + 5. ℎ ) 
 
Determinamos el límite y entonces: 𝑓´(𝑥) = 15𝑥 
Ejercicio 4: Dada 𝑓(𝑥) =
.
 obtener la función derivada. 
Luego determinar si existen: 𝑓´(0) , 𝑓´(2) 𝑦 𝑓´ − . 
En este caso podemos obtener la función derivada, es decir la función que permite 
determinar el valor de la derivada de 𝑓(𝑥) para cualquier valor de 𝑥 del dominio de 
la misma, donde 𝒇(𝒙) es derivable. 
Utilizamos la forma: 𝑓´(𝑥) = lim
→
( ) ( )
 
En nuestro caso: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
( )
.( )
 − 
.
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
Para “salvar” la indeterminación procedemos de la siguiente forma: 
1° Expresamos (𝑥 + ℎ) como un trinomio cuadrado perfecto y aplicamos 
propiedad distributiva del producto respecto de la suma para 2. (𝑥 + ℎ) 
𝑓´(𝑥) = lim
→
. .
. . 
 − 
.
ℎ
 
2° Efectuamos la resta de las expresiones algebraicas fraccionarias: 
 
 
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𝑓´(𝑥) = lim
→
( . . ).( . ) .( . . )
( . . ).( . )
ℎ
 
 
3° En la última expresión expresamos teniendo en cuenta que: = . = 
 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
→
(𝑥 + 2. 𝑥. ℎ + ℎ ). (2. 𝑥 + 3) − 𝑥 . (2. 𝑥 + 2. ℎ + 3)
(2. 𝑥 + 2. ℎ + 3). (2. 𝑥 + 3). ℎ
 
 
4° Operamos en el numerador aplicando propiedad distributiva: 
 
𝑓´(𝑥) = lim
→
2. 𝑥 + 3. 𝑥 + 4. 𝑥 . ℎ + 6. 𝑥. ℎ + 2. 𝑥. ℎ + 3. ℎ − 2. 𝑥 − 2. 𝑥 . ℎ − 3. 𝑥
(2. 𝑥 + 2. ℎ + 3). (2. 𝑥 + 3). ℎ
 
5° Reducimos el numerador operando con sus términos: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
2. 𝑥 . ℎ + 6. 𝑥. ℎ + 2. 𝑥. ℎ + 3. ℎ
(2. 𝑥 + 2. ℎ + 3). (2. 𝑥 + 3). ℎ
 
6° Extraemos factor común ℎ: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
ℎ. (2. 𝑥 + 6. 𝑥 + 2. 𝑥. ℎ + 3. ℎ)
(2. 𝑥 + 2. ℎ + 3). (2. 𝑥 + 3). ℎ
 
7° Simplificando ℎ tenemos: 
𝑓´(𝑥) = lim
→
2. 𝑥 + 6. 𝑥 + 2. 𝑥. ℎ + 3. ℎ
(2. 𝑥 + 2. ℎ + 3). (2. 𝑥 + 3)
 
8° Resolvemos el límite: 
𝑓´(𝑥) =
2. 𝑥 + 6. 𝑥
(2. 𝑥 + 3). (2. 𝑥 + 3)
 =
2. 𝑥 + 6. 𝑥
(2. 𝑥 + 3)
 
Entonces 𝑓´(0) =
. .
( . )
= 0 y 𝑓´(2) =
. .
( . )
= 
Como el dominio de f(x)=
.
 es 𝑅 − − , no es posible calcular 𝑓´ − ya 
que el dominio de la función derivada está incluido en él. 
 
Ejercicio 5: Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 5 + 3. 𝑥 − 𝑥 + 2. 𝑙𝑛𝑥. 
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Por propiedades de la derivación: 
Si𝑓(𝑥) = 𝑘1. 𝑢(𝑥) + 𝑘2. 𝑣(𝑥) + ⋯ + 𝑘 . 𝑧(𝑥) ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑘1. 𝑢´(𝑥) + 𝑘2. 𝑣´(𝑥) + ⋯ +
𝑘 . 𝑧´(𝑥) (Donde .𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘 son constantes 
Entonces: 
𝑓´(𝑥) = (5)´ + (3. 𝑥)´ − (𝑥3)´ + (2. 𝑙𝑛𝑥)´ ⇒ 
⇒ 𝑓´(𝑥) = (5)´ + 3. (𝑥)´ − (𝑥3)´ + 2. (𝑙𝑛𝑥)´ ⇒ 
⇒ 𝑓´(𝑥) = 0 + 3.1 − 3. 𝑥2 + 2.
1
𝑥
⇒ 
⇒ 𝑓´(𝑥) = 3 − 3. 𝑥2 +
2
𝑥
 
Ejercicio 6: Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
Por derivada del producto de 2 funciones: 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 
En nuestro ejercicio: 
𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛𝑥)´. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑥. (𝑠𝑒𝑛𝑥)´ 
𝑓´(𝑥) =
1
∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = + 𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Ejercicio 7: Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) =
3 3.
√
. 
Por derivada del cociente de 2 funciones: 
Si 𝑓(𝑥) =
( )
( )
⇒ 𝑓´(𝑥) =
´( ). ( ) ( ). ´( )
[ ( )]2
 (Con 𝑣(𝑥) ≠ 0 ) 
Entonces: 
𝑓´(𝑥) =
(3. 𝑥2 − 3). √𝑥 − (𝑥3 − 3. 𝑥) ∙
1
2.√
√𝑥
2 
 
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⇒ 𝑓´(𝑥) =
3. 2 3 .√ .2.√ 3 3.
2.√
𝑥
 
⇒ 𝑓´(𝑥) =
(3. 𝑥2 − 3). 2. 𝑥 − 𝑥3 + 3. 𝑥
2. 𝑥. √𝑥
 
⇒ 𝑓´(𝑥) =
6. 𝑥3 − 6. 𝑥 − 𝑥3 + 3. 𝑥
2. 𝑥. √𝑥
 
⇒ 𝑓´(𝑥) =
5. 𝑥3 − 3. 𝑥
2. 𝑥. √𝑥
 
⇒ 𝑓´(𝑥) =
. 5. 2 3
2. .√
 ⇒ 𝑓´(𝑥) =
5. 2 3
2.√
 
 
Ejercicio 8: Determinar si la siguiente función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 + 5 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
6. 𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
es derivable en 𝑥 = 3 
La función 𝑓(𝑥)está definida por tramos: 
Para valores x menores o iguales que 3, la fórmula que asigna a cada valor 𝑥 su imagen 
𝑓(𝑥) es 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5. 
Mientras que para valores x mayores que 3, la fórmula que asigna a cada valor x su 
imagen 𝑓(𝑥) es 𝑓(𝑥) = 6. 𝑥 − 4. 
Para que 𝑓(𝑥) sea derivable en 𝑥 = 3 debe ocurrir primero que sea continua en ese 
punto (Condición necesaria pero no suficiente) y además que sus derivadas laterales 
sean finitas e iguales. 
Analizamos la continuidad en 𝑥 = 3: 
𝑓(3) = 32 + 5 ⇒ 𝑓(3) = 14 
lim
⟶3
𝑓(𝑥) = lim
⟶3
(𝑥2 + 5) = 14 
lim
⟶3
𝑓(𝑥) = lim
⟶3
(6. 𝑥 − 4) = 14 
Por lo tanto: 
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𝑓(3) = lim
→3
𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 3 
Analizamos derivabilidad en 𝑥 = 3: 
𝑓´(3 −) = lim
→
(𝑥 + 5) − 14
𝑥 − 3
⇒ 𝑓´(3 −) = lim
→
𝑥 − 9
𝑥 − 3
 
⇒ 𝑓´(3 −) = lim
→
(𝑥 + 3). (𝑥 − 3)
𝑥 − 3
⇒ 𝒇´(𝟑 −) = 𝟔 
𝑓´(3 +) = lim
→
(6. 𝑥 − 4) − 14
𝑥 − 3
⇒ 𝑓´(3 +) = lim
→
6. 𝑥 − 18
𝑥 − 3
⇒ 
𝑓´(3 +) = lim
→
.( )
⇒ 𝒇´(𝟑 +) = 𝟔 
Por lo tanto: 
𝑓´(3 −) = 𝑓´(3 +) 
𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 = 3 
Ejercicio 9: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥
3 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
12𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
a) Responder: ¿𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 = 2? 
Analizamos continuidad en 𝑥 = 2: 
𝑓(2) = 23 + 1 ⇒ 𝑓(2) = 9 
 
lim
→2
𝑓(𝑥) = lim
→2
(𝑥3 + 1) = 9 
 
lim
→2
(12. 𝑥 − 4) = 20 
 
lim
→2
𝑓(𝑥) ≠ lim
→2
𝑓(𝑥) ⇒ ∄ lim
→2
𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 2 
 
Si 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 = 2 entonces no es derivable en ese punto. 
 
Ejercicio 10: Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de 𝑓(𝑥) =
√𝑥 en 𝑥0 = 4. 
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La ecuación de la recta tangente es: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓´(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) 
Para este ejercicio: 
𝑥0 = 4 ; 𝑦0 = √4 ⇒ 𝑦0 = 2 y 𝑓´(𝑥) =
1
2.√
⇒ 𝑓´(𝑥0) =
1
2.√4
 ⇒ 𝑓´(𝑥0) = 
1
4
 
Reemplazando en la fórmula: 
𝑦 = 2 +
1
4
. (𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 = 2 +
1
4
. 𝑥 − 1 
⇒ 𝑦 = 
1
4
. 𝑥 − 1 + 2 ⇒ 𝑦 =
1
4
. 𝑥 + 1 
La ecuación de la recta normal es: 𝑦 = 𝑦0 −
1
´( 0)
. (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazando: 
 𝑦 = 2 − 4. (𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 = 2 − 4. 𝑥 + 16 
 ⇒ 𝑦 = −4. 𝑥 + 16 + 2 ⇒ 𝑦 = −4. 𝑥 + 18 
Ejercicio 11: 
a) Hallar el punto donde la recta tangente a la curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2. 𝑥 + 1 tiene 
pendiente 𝑚 = 3 
b) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal. 
Respuesta: 
a) Por interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente a la 
curva de la función 𝑓(𝑥) en el punto𝑥 (donde la misma es continua y derivable) es 
numéricamente igual a 𝑓´(𝑥0) (es decir la derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥0). 
O sea: 𝑚 = 𝑓´(𝑥0) 
En nuestro caso: 3 = 𝑓´(𝑥0) (1) 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2. 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 2. 𝑥 + 2 
En 𝑥0 : 𝑓´(𝑥0) = 2. 𝑥0 + 2 entonces buscamos 𝑥0 
Reemplazando 𝑓´(𝑥0) en (1): 
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3 = 2. 𝑥0 + 2 ⇒⇒ 3 − 2 = 2. 𝑥0 ⇒ 1 = 2. 𝑥0 ⇒ 
1
2
= 𝑥0 
Determinamos 𝑦0: 
𝑦0 =
1
2
2
+ 2.
1
2
+ 1 ⇒ 𝑦0 =
9
4
 
Entonces el punto donde la recta tangente a la curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2. 𝑥 + 1 tiene 
pendiente 𝑚 = 3 es 𝑃 =
1
2
;
9
4
 
b) La ecuación de la recta tangente es: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓´(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) 
En este caso: 𝑥0 =
1
2 
 𝑦0 =
9
4
 y 𝑓´(𝑥0) = 3 
Por la tanto la ecuación de la recta tangente es: 
𝑦 =
9
4
+ 3. 𝑥 −
1
2
⇒ 
⇒ 𝑦 =
9
4
+ 3. 𝑥 −
3
2
 ⇒ 𝑦 = 3. 𝑥 −
3
2
+
9
4
⇒ 
⇒ 𝑦 = 3. 𝑥 +
3
4
 
La ecuación de la recta normal es: 𝑦 = 𝑦0 −
1
´( 0)
. (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazando tenemos: 
𝑦 =
9
4
−
1
3
. 𝑥 −
1
2
⇒ 𝑦 =
9
4
−
1
3
∙ 𝑥 +
1
6
 
⇒ 𝑦 = −
1
3
∙ 𝑥 +
1
6
+
9
4
 ⇒ 𝑦 = −
1
3
∙ 𝑥 +
29
12
 
b) No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en 
internet, utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. 
 En particular te recomendamos los siguientes links: 
 S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral. Selección 
de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e Internet: 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
Página 33 de 34 
 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-
CDI-I-2019.pdf 
 Derivada concepto, definición. 
 https://www.youtube.com/watch?v=AfAp1_dMLu8&list=PLTef2OIG6VtLh
P9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=37 
 https://www.youtube.com/watch?v=KjXt3oxUXzI&list=PLTef2OIG6VtLhP
9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=38 
 https://www.youtube.com/watch?v=aL1w2eR-
ISk&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=39 
 https://www.youtube.com/watch?v=aYqZ52GIE6s&list=PLTef2OIG6VtLh
P9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=40 
 https://www.youtube.com/watch?v=BFL30XSKce4&list=PLTef2OIG6VtLh
P9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=41 
 https://www.youtube.com/watch?v=YBLXR0dbTyw 
 https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM 
 https://www.youtube.com/watch?v=rxkrFHMHkfQ 
 https://www.youtube.com/watch?v=7898M297Gjg 
 Recta tangente y normal. 
 https://www.youtube.com/watch?v=mCXHAZyYYX0 
 https://www.youtube.com/watch?v=zaREJCoBR5M 
 Derivada y Continuidad. 
 https://www.youtube.com/watch?v=2QM6mIoYozo&list=PLTef2OIG6VtL
hP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=43 
 https://www.youtube.com/watch?v=sZsvlsTpDuI&list=PLJFDELHMHVjm
TTyLws_n_mxz9kMxGhp0U&index=7 
 https://www.youtube.com/watch?v=VwyQFAYi-
nc&list=PLJFDELHMHVjmTTyLws_n_mxz9kMxGhp0U&index=8 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
Página 34 de 34 
 
 Derivada propiedades. 
https://www.youtube.com/watch?v=_O3kUwaREg4&list=PLTef2OIG6VtLhP9l
6TFh8bldIMzOEi3ws&index=42