5 Esfuerzo y deformación a la Flexión

Vista previa del material en texto

25/04/2024
1
ESFUERZOS 
DEBIDOS A 
MOMENTO 
FLEXIONANTE
Sobre una viga pueden actuar fuerzas o pares situados en un plano que
contiene a su eje longitudinal. Se supone que las fuerzas actúan
perpendicularmente al eje longitudinal, y que el plano que las contiene lo
es de simetría de la viga.
Los efectos de estas fuerzas y pares que actúan en una viga son:
(a) producir deformaciones perpendiculares al eje longitudinal de la viga y
(b) originar tensiones normales y cortantes en cada sección de la viga
perpendicular a su eje.
ESFUERZOS EN LA FLEXIÓN
25/04/2024
2
Si se aplican pares a los extremos de la viga y no actúa en ella ninguna
fuerza, la flexión se llama flexión pura.
La flexión producida por fuerzas que no forman pares se llama flexión
ordinaria.
Una viga sometida a flexión pura solo tiene tensiones normales y no
tensiones cortantes; en una sometida a flexión ordinaria actúan
tensiones normales y cortantes en su interior.
flexión pura
VIGA DE MADERA LAMINADA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA
25/04/2024
3
VIGA DE MADERA SOMETIDA A FLEXIÓN ORDINARIA
FLEXIÓN
a
Antes aplicar la carga
b
Z
Después de aplicar la 
carga
a
b
Z
P
Z
b
a
Sin deformación
a
M
M
Z
b
Deformado
25/04/2024
4
Existe una sección “C” dentro de la viga
que no se acorta ni se alarga, es decir no
se deforma.
a
M
M
Z
b
Deformado
CONVENCIÓN DE SIGNOS
25/04/2024
5
ESFUERZO EN LA FLEXIÓN
M: momento flector
c : distancia desde el eje neutro 
(centroide) hasta donde se determina 
el esfuerzo.
I: momento de inercia respecto al eje de 
flexión
MODULO DE LA SECCIÓN
La ecuación muestra que para valores dados del
momento flexionante M y del momento de inercia
I, el valor del esfuerzo  depende sólo de la
distancia c al eje neutro, luego los esfuerzos
normales son máximos en las fibras más alejadas
del eje neutro, donde c es máxima y son nulos en
el eje neutro.
25/04/2024
6
El cociente:
S se llama módulo de la sección.
S tiene el mismo signo que cmáx , puede ser positivo 
o negativo y se expresa en cm3.
𝜎 á =
𝑀 á 𝑐 á
𝐼
=
𝑀 á
𝑆
𝐼
𝑐 á
= 𝑆
Sección rectangular:
ymáx =
h
2
σmáx =
3M
2b
 σmín = −
3M
2b
I =
bh
12
S = ±
bh
6
= ±
2b
3
Si se supone que un momento flexionante M actúa sobre las
secciones detalladas a continuación, los módulos de sección y los
esfuerzos máximos y mínimos tendrán los valores siguientes:
25/04/2024
7
Sección circular 
ymáx = R
I =
πR
4
S = ±
πR
4
σmáx =
4M
πR
 σmín = −
4M
πR
ESFUERZOS EN VIGAS DEBIDOS A FUERZA CORTANTE
La figura representa varias placas colocadas una sobre la otra y
apoyadas en sus extremos. Una carga colocada sobre las placas,
o inclusive el peso de las mismas, tiende a causarles un
deslizamiento horizontal.
25/04/2024
8
Esta tendencia al movimiento lateral se llama
cortante horizontal o cortante longitudinal.
En las vigas sólidas, esta tendencia al deslizamiento
horizontal siempre está presente, y es absorbida por
los esfuerzos que se presentan en las fibras de la
viga.
La magnitud del cortante horizontal total en cualquier
sección de la viga es igual a la magnitud del cortante
vertical total. Sin embargo, los esfuerzos cortantes
unitarios horizontales no están distribuidos uniformemente
sobre la sección transversal de la viga.
25/04/2024
9
τ =
VQ
Ib
donde:
 = el esfuerzo cortante horizontal en cualquier punto especifico de la
sección transversal de la viga en kg/cm2.
V = el cortante vertical total en la viga en la sección elegida, en kg.
Q = momento estático con respecto al eje neutro de la sección
transversal del área hacia arriba (o hacia abajo) del punto en que se
va a determinar  (momento estático es una área multiplicada por la
distancia de su centroide a un eje dado se expresa en cm3).
I = momento de inercia de la sección transversal de la viga con
respecto a su eje neutro, en cm4.
b = ancho de la viga en el punto en que  deberá ser calculada, en
cm.
Estos esfuerzos pueden encontrarse por la fórmula:
El máximo esfuerzo cortante horizontal de una sección
transversal rectangular se presenta en el plano neutro y su
magnitud es:
τ =
3V
2bh
=
3V
2A
25/04/2024
10
El máximo esfuerzo cortante horizontal de una sección
transversal circular se presenta en el plano neutro y su
magnitud es:
𝝉 =
𝟒𝑽𝒎á𝒙
𝟑𝝅𝑹𝟐
DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Deflexión de vigas. Cuando una viga se flexiona, a su
deformación o cambio de forma se le llama deflexión. La distancia
vertical recorrida por un punto en su plano neutro es la
deflexión de la viga en ese punto. El lugar geométrico que forma
la traza del plano neutro sobre un plano vertical longitudinal se
llama curva elástica de la viga.
25/04/2024
11
Las fórmulas usadas para cuantificar la
deflexión de vigas pueden deducirse por medio
del cálculo.
Otro método, que no requiere cálculos
elevados, se conoce como el método de
áreas de momentos.
Fórmulas para evaluar la deflexión
La línea curva de la figura representa la curva elástica
de una viga que originalmente estaba horizontal y
recta. M y N son dos puntos de la curva.
El desplazamiento vertical Δ, del punto M,
medido a partir de la tangente a la curva
elástica en el punto N, es igual al momento
estático, con respecto a M, del área del
diagrama de momentos flexionantes
comprendida entre los puntos M y N, dividida
entre EI.
25/04/2024
12
25/04/2024
13
1. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA. 
CARGA CONCENTRADA EN EL CENTRO 
4
PL
EI
PL
48
3
Mmáx (en el punto de la carga) = 
máx (en el punto de la carga) = 
25/04/2024
14
2. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA.
CARGA CONCENTRADA EN CUALQUIER PUNTO 
3. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA. 
DOS CARGAS CONCENTRADAS IGUALES A L/3 DE 
SUS EXTREMOS
3
PL
EI
PL
648
23 3
R = V = P
Mmáx (entre cargas) =
 máx (al centro) = 
25/04/2024
15
4. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA. 
DOS CARGAS CONCENTRADAS IGUALES SIMÉTRICAMENTE 
UBICADAS
)aL(
EI
Pa 22 43
24

R = V = P
Mmáx (entre cargas) = Pa
máx (al centro) = 
5. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA. 
CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
2
wL
8
2wL
EI
wL
384
5 4
R = V = 
Mmáx (al centro) = 
máx (al centro) = 
25/04/2024
16
6. VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA. 
CARGA CONCENTRADA AL CENTRO
7. VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
2
wL
12
2wL
EI
wL
384
4
R = V = 
Mmáx (en los extremos) = 
máx (al centro) =
25/04/2024
17
8. EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y APOYADA EN EL OTRO. 
CARGA CONCENTRADA AL CENTRO
16
P5
VR 11 
16
P11
VR 22 
16
PL3
empotradoextremoelenMmáx 
32
PL5
)aargcladepuntoelen(1M 
EI
PL
009317.0)L4472.0xen(máx
3

EI768
PL7
)aargcladepuntoelen(x
3

9. VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y APOYADA EN EL OTRO. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
8
3wL
8
5wL
8
2wL
EI
wL
185
4
R1 = V1 =
R2 = V2máx =
Mmáx =
máx(en x = 0,4215L) =
25/04/2024
18
10. VIGA EN VOLADIZO. 
CARGA CONCENTRADA EN CUALQUIER POSICIÓN
P)aXcuando(VR 
Pb)ntoempotramieelen(Mmáx 
)ax(P)axcuando(Mx 
)bL3(
EI6
Pb
)libreextremoelen(máx
2

EI3
Pb
)aargcdepuntoelen(a
3

11. VIGA EN VOLADIZO. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
2
2wL
EI
wL
8
4
R = V = wL
Mmáx (en el extremo fijo) = 
máx(en el extremo libre) =
25/04/2024
19
12. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON EXTREMO EN VOLADIZO. 
CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO
11. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON EXTREMO EN 
VOLADIZO. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
25/04/2024
20
14. VIGA CONTINUA CON DOS TRAMOS IGUALES. 
CARGAS CONCENTRADAS EN EL CENTRO DE LUZ
15. VIGA CONTINUA CON DOS TRAMOS IGUALES. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
wL
8
3
VRVR 3311 
wL
8
10
V2R 22 
8
wL
Rapoyoen(máxM
2
22 
wL
8
5
V2 
128
wL9
)
8
L3
xen(M
2
1 
EI185
wL
)RóRdeL46.0a(máx
4
31 
EI192
wL
)
2
L
a(x
4

25/04/2024
21
16. VIGA CONTINUA CON DOS TRAMOS IGUALES. 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN UN 
TRAMO