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1- Formulario Vibraciones
Vibraciones Mecánicas Y Laboratorio (Universidad Autónoma de Nuevo León)
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1- Formulario Vibraciones
Vibraciones Mecánicas Y Laboratorio (Universidad Autónoma de Nuevo León)
Baixado por Albert Braga (albertbragaa@gmail.com)
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Multigrados Minas y Energía FÍSICA II 
 
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Profesor 
 
Jorge Fernández 
 
 
Formulario Vibraciones Mecánicas 1/4 
 
Tema 1.- Vibraciones Mecánicas - Formulario 
1.1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) 
 
 
1.1.1.- Cinemática del MAS 
01 Ecuación Diferencial del MAS �̈� + 𝜔2𝑥 = 0, 𝜔 > 0 
02 Solución general 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝜑0) , 𝐴 > 0, 𝜑0 ∈ (−𝜋, 𝜋] 
03 Otras soluciones equivalentes 
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) 𝜙0 = 𝜑0 − 𝜋/2 𝑥(𝑡) = 𝑎 cos(𝜔𝑡) + 𝑏 sin(𝜔𝑡) 𝑎 = 𝐴 sen 𝜑0 , 𝑏 = 𝐴 cos 𝜑0 
 
04 
Problema de Valor Inicial 
(PVI) 𝑃𝑉𝐼 { �̈� + 𝜔2𝑥 = 0𝑥(0) = 𝑥0𝑣(0) = 𝑣0 
05 Solución al PVI tipo [02] * (ver NOTA) 𝐴 = √𝑥02 + (𝑣0𝜔 )2 , 𝜑0 = tan−1 (𝑥0𝜔𝑣0 ) 
06 Casos particulares notables 
𝑥0 > 0, 𝑣0 = 0 𝑥(𝑡) = 𝑥0 sen(𝜔𝑡 + 𝜋/2) 𝑥0 < 0, 𝑣0 = 0 𝑥(𝑡) = 𝑥0 sen(𝜔𝑡 − 𝜋/2) 𝑥0 = 0, 𝑣0 > 0 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑡) , 𝐴 = 𝑣0/𝜔 𝑥0 = 0, 𝑣0 < 0 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑡 ± 𝜋) , 𝐴 = −𝑣0/𝜔 
07 
Otras soluciones equivalentes 
[03] 
𝜙0 = tan−1 (− 𝑣0𝜔𝑥0) 𝑎 = 𝑥0, 𝑏 = 𝑣0𝜔 
* NOTA: Si 𝑣0 < 0 hay que añadir al valor 𝜑0 obtenido en la calculadora: 𝜋 si 𝑥0 < 0 y – 𝜋 si 𝑥0 > 0. 
 
08 Relaciones cinemáticas 
𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝜑0) |𝑥𝑚á𝑥| = 𝐴 𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0) |𝑣𝑚á𝑥| = 𝐴𝜔 𝑎(𝑡) 𝑎(𝑡) = −𝐴𝜔2 sen(𝜔𝑡 + 𝜑0) |𝑎𝑚á𝑥| = 𝐴𝜔2 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥) = ±𝜔√𝐴2 − 𝑥2 𝑎(𝑥) 𝑎(𝑥) = −𝜔2𝑥 𝑎(𝑣) 𝑎(𝑣) = ±𝜔√(𝐴𝜔)2 − 𝑣2 = ±𝜔√𝑣𝑚á𝑥2 − 𝑣2 
 
Amplitud Fase
Fase inicial
Pulsación o 
frecuencia angular
Desplazamiento 
o elongación
Periodo
Frecuencia
Movimiento 
Circular 
Uniforme
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Formulario Vibraciones Mecánicas 2/4 
 
 
 
1.1.2.- Dinámica del MAS 
09 Fuerza elástica 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 𝑘 constante elástica o rigidez del sistema (en el SI, [𝑘] = 𝑁/𝑚) 
10 
Sistema masa 𝒎 – resorte 𝒌: 
Ecuación diferencial del movimiento 
Coordenada 𝑥 definida 
desde el equilibrio −𝑘𝑥 = 𝑚�̈�, �̈� + 𝑘𝑚 𝑥 = 0 
11 
Sistema masa 𝒎 – resorte 𝒌: 
Frec. angular, temporal y periodo 𝜔 = √𝑘/𝑚, 𝑇 = 2𝜋√𝑚/𝑘, 𝑓 = 𝜈 = 12𝜋 √𝑘/𝑚 
12 Asociación de resortes 
Asociación en Serie 𝑘𝑒𝑞−1 = 𝑘1−1 + 𝑘2−1 
Asociación en Paralelo 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 
13 Péndulo simple 
Ecuación diferencial �̈� + √𝑔𝐿 sen 𝜃 = 0 
Pequeñas oscilaciones ( 𝜃 ≪ 1) �̈� + √𝑔𝐿 𝜃 = 0 → 𝜔 = √𝑔𝐿 
 
1.1.3.- Energía asociada al MAS 
14 Energía Cinética 𝐸𝑐(𝑣) = 12 𝑚𝑣2 𝐸𝑐(𝑡) = 12 𝑚𝜔2𝐴2 cos2(𝜔𝑡 + 𝜑0) 𝐸𝑐(𝑥) = 12 𝑚𝜔2(𝐴2 − 𝑥2) 
15 Energía Potencial Elástica 𝐸𝑝𝑒(𝑥) = 12 𝑘𝑥2 = 12 𝑚𝜔2𝑥2 𝐸𝑝𝑒(𝑡) = 12 𝑘𝐴2 sen2(𝜔𝑡 + 𝜑0) 
16 Energía Mecánica 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑒 = 12 𝑘𝐴2 = 12 𝑚𝜔2𝐴2 
 
 
1.2.- OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS (OAA) 
 
 
1.2.1.- Dinámica de las Oscilaciones Amortiguadas 
17 Fuerza de Rozamiento Viscoso 𝐹𝑟 = −𝑐�̇�, 𝑐 > 0 Coeficiente de amortiguamiento viscoso, 𝑐 (en el SI, [𝑐] = 𝑁 · 𝑠𝑚 = 𝑘𝑔𝑠 ) 
18 
Ecuación Diferencial (I) 
(2ª Ley Newton) 
𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 0, �̈� + 𝑐𝑚 �̇� + 𝑘𝑚 𝑥 = 0 
 
0 2 4 6 8 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
 
 
Oscilaciones sub-amortiguadas
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Formulario Vibraciones Mecánicas 3/4 
 
 
19 
Ecuación (polinomio) característica y 
sus raíces. 
(Se ensaya 𝑥(𝑡) ≡ 𝑒𝑠𝑡 en [18]) 𝑠2 + 𝑐𝑚 𝑠 + 𝑘𝑚 = 0 ⟹ 𝑠1,2 = − 𝑐2𝑚 ± √( 𝑐2𝑚)2 − 𝑘𝑚 ≡ − 𝑐2𝑚 ± √∆ 
20 
Coeficiente de amortiguamiento 
crítico. 
(Discriminante ∆= 0 en 𝑠1,2 [19]) ∆≡ (𝑐𝑐𝑟2𝑚)2 − 𝑘𝑚 = 0, 𝑐𝑐𝑟 = 2√𝑘𝑚 
21 
Solución 
General 
de [18] 
𝑐 > 𝑐𝑐𝑟 Movimiento sobre-amortiguado (no oscilatorio) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑐𝑡/2𝑚 (𝑎𝑒√∆𝑡 + 𝑏𝑒−√∆𝑡) 
Dos raíces reales distintas 𝑠1,2 = − 𝑐2𝑚 ± √∆ 
 𝑐 = 𝑐𝑐𝑟 Movimiento en amortiguamiento crítico (no oscilatorio) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑐𝑡/2𝑚(𝑎 + 𝑏𝑡) 
Una raíz real doble 𝑠 = −𝑐/2𝑚 
 𝑐 < 𝑐𝑐𝑟 Oscilaciones sub-amortiguadas 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑐𝑡/2𝑚(𝑎 cos(√−∆𝑡) + 𝑏 sen(√−∆𝑡)) 𝑥(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝑐𝑡/2𝑚 sen(√−∆𝑡 + 𝜑0) Dos raíces complejas conj. 𝑠1,2 = − 𝑐2𝑚 ± 𝑖√−∆ 
* 𝑎, 𝑏, 𝐴0, 𝜑0 son constantes arbitrarias en cada caso. Se deberán relacionar con los datos iniciales 𝑥0, 𝑣0. 
 
22 Frecuencia (angular) Natural, 𝜔𝑛 𝜔𝑛 ≡ √𝑘/𝑚, 𝑇𝑛 = 2𝜋𝜔𝑛 = 2𝜋√𝑚/𝑘, 𝜈𝑛 = 𝑓𝑛 = 𝜔𝑛2𝜋 = 12𝜋 √𝑘/𝑚 
23 Ratio de Amortiguamiento, 𝜉 𝜉 ≡ 𝑐𝑐𝑐𝑟 = 𝑐2√𝑘𝑚 
 
24 Ecuación Diferencial (II) �̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝑥 = 0 
25 
Ecuación (polinomio) característica y 
sus raíces. 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 ⟹ 𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜉2 − 1 
26 Frecuencia (angular) Amortiguada, 𝜔𝑑 𝜔𝑑 ≡ 𝜔𝑛√1 − 𝜉2, 𝑇𝑑 = 2𝜋𝜔𝑑 , 𝜈𝑑 = 𝑓𝑑 = 𝜔𝑑2𝜋 
 
27 
Solución 
General 
de [24] 
𝜉 > 1 Movimiento sobre-amortiguado (no oscilatorio) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 (𝑎𝑒√∆𝑡 + 𝑏𝑒−√∆𝑡) 
Raíces: 𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜉2 − 1 
 𝜉 = 1 Movimiento en amortiguamiento crítico (no oscilatorio) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡(𝑎 + 𝑏𝑡) 
Raíz doble 𝑠 = −𝜉𝜔𝑛 
 𝜉 < 1 Oscilaciones sub-amortiguadas 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡(𝑎 cos(√−∆𝑡) + 𝑏 sen(√−∆𝑡)) 𝑥(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝑐𝑡/2𝑚 sen(√−∆𝑡 + 𝜑0) Raíces: 𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑖𝜔𝑛√1 − 𝜉2 
* 𝑎, 𝑏, 𝐴0, 𝜑0 son constantes arbitrarias en cada caso. Se deberán relacionar con los datos iniciales 𝑥0, 𝑣0. 
 
1.2.2.- Estudio Particular del MOVIMIENTO SUB-AMORTIGUADO 
28 Amplitud envolvente 𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 ≡ 𝐴0𝑒−𝑡/𝜏 
29 Tiempo de relajación 𝜏 ≡ 1𝜉𝜔𝑛 , 𝐴(𝜏) = 𝐴0𝑒 = 36,788% 𝐴0 
30 
Cociente entre amplitudes 
máximas consecutivas 
𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝑇𝑑) = 𝐴(𝑡)𝐴(𝑡 + 𝑇𝑑) = exp(𝜉𝜔𝑛𝑇𝑑)=: [32] ≔ 𝑒𝛿 
31 
Cociente entre amplitudes 
máximas en 𝒏 periodos 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝑛𝑇𝑑) = 𝐴(𝑡)𝐴(𝑡 + 𝑛𝑇𝑑) = exp(𝑛𝜉𝜔𝑛𝑇𝑑) = (exp(𝜉𝜔𝑛𝑇𝑑))𝑛 
32 
Decremento (decrecimiento) 
logarítmico 
𝛿 = ln 𝐴(𝑡)𝐴(𝑡 + 𝑇𝑑) = 𝜉𝜔𝑛𝑇𝑑 = 2𝜋𝜉 𝜔𝑛𝜔𝑑 = 2𝜋𝜉√1 − 𝜉2 ≅: { 𝑠𝑖 𝜉 ≪ 1 }: ≅ 2𝜋𝜉 
33 Relación 𝜉 − 𝛿 𝜉 = 𝛿√4𝜋2 + 𝛿2 = 𝛿2𝜋 1√1 + (𝛿/2𝜋)2 ≅: { 𝑠𝑖 𝛿2𝜋 ≪ 1 } : ≅ 𝛿2𝜋 
 
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Formulario Vibraciones Mecánicas 4/4 
 
1.3.- OSCILACIONES ARMÓNICAS FORZADAS (OAAF) 
 
 
34 
Ecuaciones Diferenciales 
 
- Rozamiento viscoso 𝐹𝑟 ≡ −𝑐�̇� 
- Excitación: 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin(Ω𝑡) 
𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin(Ω𝑡) , �̈� + 𝑐𝑚 �̇� + 𝑘𝑚 𝑥 = 𝐹0𝑚 sin(Ω𝑡) �̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝑥 = 𝐹0𝑚 sin(Ω𝑡) ≡ 𝛿𝑠𝑡𝜔𝑛 sin(Ω𝑡) , 𝛿𝑠𝑡 ≡ 𝐹0𝑘 
35 Solución general de [34] 
La solución general de [34] es la suma de la solución general de [18-24] 
(expresiones [21-27]) más una solución particular de [34], también 
llamada solución permanente (dado que las soluciones [21-27] 
desaparecen tras un tiempo del orden de 𝜏, y se denominan soluciones 
transitorias) 
36 
Solución particular de [34] 
(Respuesta permanente) 
𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋0 sen(Ω𝑡 + 𝜙) 𝑋0 = 𝐹0/𝑚√(𝜔𝑛2 − Ω2)2 + (2𝛾Ω𝜔𝑛)2 𝜙 = arctan 2𝜉𝜔𝑛ΩΩ2 − 𝜔𝑛2 
37 Ratio de frecuencias, 𝑟 𝑟 ≡ Ω𝜔𝑛 
38 Deformación estática, 𝛿𝑠𝑡 𝛿𝑠𝑡 ≡ 𝐹0𝑘 
39 Amplitud y fase normalizadas 𝑋0 = 𝛿𝑠𝑡√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)2 , 𝜙 = arctan 2𝜉𝑟𝑟2 − 1 
40 Factor dinámico de amplificación 𝐻 |𝐻|(𝑟, 𝜉) = |𝑋0𝛿𝑠𝑡| = 1√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)2 
41 Resonancia en Amplitud 
𝑟𝑟𝑒𝑠 = √1 − 2𝜉2 ⟹ Ω𝑟𝑒𝑠 = √1 − 2𝜉2𝜔𝑛 
|𝐻|𝑟𝑒𝑠 = 12𝜉√1 − 𝜉2 ⟹ X0,𝑟𝑒𝑠 = 𝛿𝑠𝑡2𝜉√1 − 𝜉2 
42 
Resonancia en energía cinética-
velocidad 𝑟 = 1 ⟹ Ω𝑟𝑒𝑠 = 𝜔𝑛 
 
 
Nota sobre [40] y [41]: En caso de amortiguamiento nulo (𝜉 = 0), tenemos 
 |𝐻| = 1|1 − 𝑟2| , 𝑟𝑟𝑒𝑠 = 1, 𝜙 = { 0, 𝑟 < 1𝜋, 𝑟 > 1 
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
1
2
3
4
5
 
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
 
 
0
/2
-/2
Restar 
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