Dada la curva con ecuaciones paramétricas r(t) = (sin⁡(3t),t/π, cos⁡(3t) para t>0. ¿Cuáles son las ecuaciones del plano normal y del plano...

Resolviendo:

Nuestra función vectorial.

r⃗ =sen(3t)i^+(tπ)j^+cos(3t)k^r→=sen(3t)i^+(tπ)j^+cos(3t)k^

Puede escribirse como:

r⃗ =[sen(3t),(tπ),cos(3t)]r→=[sen(3t),(tπ),cos(3t)]

Puede representarse mediante la función vectorial

α(t)=[sen(3t),(tπ),cos(3t)]α(t)=[sen(3t),(tπ),cos(3t)]

α′(t)=[3cos(3t),1π,−3sen(3t)]α(t)′=[3cos(3t),1π,−3sen(3t)]

||α′(t)||=9+(1π)2−−−−−−−√||α(t)′||=9+(1π)2

Entonces:

Vector Tangente Unitario:

T(t)=α′(t)||α′(t)||T(t)=α(t)′||α(t)′||

T(t)=19+(1π)2√[3cos(3t),1π,−3sen(3t)]T(t)=19+(1π)2[3cos(3t),1π,−3sen(3t)]

Vector Normal Principal:

N(t)=[−sen(3t),0,−cos(3t)]N(t)=[−sen(3t),0,−cos(3t)]

El vector Binormal:

B(t)=T(t)×N(t)B(t)=T(t)×N(t)

Efectuando el producto:

B(t)=19+(1π)2√[−cos(3t)π,3,sen(3t)π]B(t)=19+(1π)2[−cos(3t)π,3,sen(3t)π]

La ecuación del plano osculador es:

[(x,y,z)−(xo,yo,zo)].B(t)=0[(x,y,z)−(xo,yo,zo)].B(t)=0

Según el problema hay que evaluar en el punto el punto: P : ( 1, 1/2 , 0 )

Entonces hay un dato que está mal en ese problema:

Para t = 0 el punto es P : ( 0 , 0 , 1 )

Para t = π/2π/2 el punto es P : ( -1 , 1/2 , 0 )

Para t = ππ el punto es P : ( 0 , 1 , -1 )

Cada vez que el parámetro t se incrementa en π/2π/2 la función en el plano x-z avanza 3/4 de circunferencia y en el eje 'y' avanza 1/2.

El punto debería ser: P : ( -1 , 1/2 , 0 )

En t=π/2t=π/2 B(t)B(t) es:

B(π/2)=19+(1π)2√[0,3,−1π]B(π/2)=19+(1π)2[0,3,−1π]

Luego la ecuación del plano osculador será:

[(x,y,z)−(−1,1/2,0)].B(t)=0[(x,y,z)−(−1,1/2,0)].B(t)=0

19+(1π)2√[(x,y,z)−(−1,1/2,0)].[0,3,−1π]=019+(1π)2[(x,y,z)−(−1,1/2,0)].[0,3,−1π]=0

En la ecuación final del plano osculador, se puede obviar el módulo del vector Binormal, ya que en la ecuación del plano osculador, solo interesa las direcciones en los diferentes ejes:

[(x+1),(y−1/2),z].[0,3,−1π]=0[(x+1),(y−1/2),z].[0,3,−1π]=0

Finalmente:

[3(y−1/2)−(1π)z]=0[3(y−1/2)−(1π)z]=0

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Mas información:

r⃗ (t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^r→(t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^

Ver la secuencia de preguntas, con respecto de este mismo tema: