representan las componentes de los vectores en los respectivos ejes perpendiculares que conforman dicho espacio.

Con respecto a esta pregunta, hay muy buenas respuestas, como las del amigo Diego Cabrales y las del sr. Jesús Landart, quienes han respondido, desde la perspectiva del Algebra Lineal.

Si embargo aquí se va a dar una respuesta desde el punto de vista del Cálculo Vectorial.

En un sistema de coordenadas rectangulares x-y

Antes de definir el producto escalar entre vectores, primero se tiene que definir el concepto de paralelismo y ortogonalidad entre vectores. Y eso se ha hecho de manera parcial en la siguiente pregunta.

Luego:

La cantidad: a1b1+a2b2a1b1+a2b2 recibe el nombre por definición de Producto escalar

Luego: El Producto escalar de dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ en el plano se define como:

a⃗ .b⃗ =a1b1+a2b2a→.b→=a1b1+a2b2

-Si los vectores son paralelos, al multiplicarlos escalarmente, se obtiene el valor máximo si los dos tienen el mismo sentido y el valor será mínimo si apuntan en sentidos contrarios.

-Si los vectores son iguales, al multiplicarlos escalarmente, se obtiene el cuadrado de la norma. Es decir:

a⃗ .a⃗ =|a⃗ |2=a2a→.a→=|a→|2=a2

-Si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos vectores son ortogonales. La afirmación anterior también se cumple en sentido inverso. Dicho de otra forma:

Dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ son ortogonales , si y solo si a⃗ .b⃗ =0a→.b→=0

a⃗ ⊥ b⇔a⃗ .b⃗ =0a→⊥ b⇔a→.b→=0

En un sistema de coordenadas rectangulares: x-y-z

Por extensión, la definición es similar en un espacio vectorial de dimensión 3 R3R3

El Producto escalar de dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ en el espacio vectorial R3R3 se define como:

a⃗ .b⃗ =a1b1+a2b2+a2b3a→.b→=a1b1+a2b2+a2b3

Es decir:

a⃗ .b⃗ =∑i=13aibia→.b→=∑i=13aibi

Se cumplen la mismas propiedades de un espacio vectorial R2R2

-Si los vectores son paralelos, al multiplicarlos escalarmente, se obtiene el valor máximo si los dos tienen el mismo sentido y el valor será mínimo si apuntan en sentidos contrarios.

-Si los vectores son iguales, al multiplicarlos escalarmente, se obtiene el cuadrado de la norma. Es decir:

a⃗ .a⃗ =|a⃗ |2=a2a→.a→=|a→|2=a2

-Si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos vectores son ortogonales. La afirmación anterior también se cumple en sentido inverso. Dicho de otra forma:

Dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ son ortogonales , si y solo si a⃗ .b⃗ =0a→.b→=0

a⃗ ⊥ b⇔a⃗ .b⃗ =0a→⊥ b⇔a→.b→=0

En el caso de los vectores unitarios i^,j^i^,j^ y k^k^ , dichos vectores son ortogonales y también ortonormales, por lo tanto forman una base en el espacio vectorial R3R3. Es decir se cumple que:

i^.j^=0i^.j^=0

j^.k^=0j^.k^=0

k^.i^=0k^.i^=0

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Adicionalmente en el espacio vectorial R3R3 se define el producto vectorial.

El producto vectorial entre los vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ se define como:

a⃗ ×b⃗ =∣∣∣∣∣i^a1b1j^a2b2k^a3b3∣∣∣∣∣a→×b→=|i^j^k^a1a2a3b1b2b3|

El vector resultante es un vector perpendicular al plano formado por los vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ . En otras palabras el vector resultante es ortogonal a los vectores a⃗ a→ y b⃗ b→.

Para los vectores unitarios que forman una base ortonormal se cumple:

i^×i^=j^×j^=k^×k^=0⃗ i^×i^=j^×j^=k^×k^=0→

i^×j^=k^i^×j^=k^

j^×k^=i^j^×k^=i^

k^×i^=j^k^×i^=j^

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Ver siguiente pregunta: ⟹⟹

Generalizando:

El producto escalar se puede generalizar a enpacios n-dimensionales, entonces dicho producto tomaría una forma mas general.

Por ejemplo en el espacio de Minkowski el producto escalar toma la siguiente forma:

AμBν=gμνaμ⊗bνAμBν=gμνaμ⊗bν

En donde:

⊗⊗ es el producto de Kronecker

gμνgμν es el tensor métrico que define la métrica de ese espacio vectorial. En un espacio ortogonal, solo contiene elementos en su diagonal principal, los demás elementos son ceros.

Producto de Kronecker - Wikipedia, la enciclopedia libre

Tensor métrico - Wikipedia, la enciclopedia libre

Desarrollando:

AμBν=gμν∑μ=03∑ν=03aμbνAμBν=gμν∑μ=03∑ν=03aμbν

AμBν=∑μ=03aμ∑ν=03gμνbνAμBν=∑μ=03aμ∑ν=03gμνbν

AμBμ=∑μ=03aμbμAμBμ=∑μ=03aμbμ

AμBμ=aobo+a1b1+a2b2+a3b3AμBμ=aobo+a1b1+a2b2+a3b3

En este caso gμνgμν : [ 1, -1 , - 1 , -1 ] En la diagonal principal, los demás elementos son cero.

En el espacio-tiempo de Minkowski se cumple que:

bo=bobo=bo y bi=−bibi=−bi , para i = 1, 2, 3.

Es decir:

AμBμ=aobo−a1b1−a2b2−a3b3AμBμ=aobo−a1b1−a2b2−a3b3

AμBμ=aobo−|a⃗ .b⃗ |AμBμ=aobo−|a→.b→|

En el caso que sean iguales:

AμAμ=AμAμ=(ao)2−|a⃗ |2AμAμ=AμAμ=(ao)2−|a→|2

En el espacio-tiempo de Minkowski se cumle que:

ao=aoao=ao y ai=−aiai=−ai , para i = 1, 2, 3.

Entonces la expresión anterior puede escribirse como:

AμAμ=a2o−|a⃗ |2AμAμ=ao2−|a→|2

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Pregunta similar:

Mas información:

Producto escalar - Wikipedia, la enciclopedia libre

Producto vectorial - Wikipedia, la enciclopedia libre

Cuadrivector - Fisicalandia