Problemas

1) Calcular mediante una integral doble el área de la región plana del 1º cua- drante limitada xy 4= , xy 32 = e ( )xfy = si esta última es la solución particular de la ecuación 2=+ y'y.x que pasa por P0 = (1;4).
2) Calcular el área de la región plana limitada por la curva solución de la ecuación 2xy'y.x += que pasa por (2;4) y la recta de ecuación .yx 6=+
3) Analice los puntos críticos de f (x, y) si ∇f = (h(x) + 6xy – 2y – 3; 3x2 – 2x – 1), donde h es la solución particular de h.x x'h 13 2 −−=+ que pasa por (1;15).
4) Dada f (x, y) = 2y.h(x) con h(x) derivable, determine el valor y la dirección de derivada direccional máxima de f (x, y) en (1;2) si h(x) es la solución de ( ) 031 =+− h.x'xh , con h (1) = e3.
5) Si ( )xfy = es la S. P. de 12 +=+ xy'y que pasa por P0 = (1;2), hallar el punto más cercano de la gráfica de la misma a P1 = (1;1).
6) Dada ( ) ( ) ( )( )2 2f x; y y.g x ; y g x x= − + , hallar ( )g x para que f tenga matriz jacobiana simétrica si ( ) ( )0 2 2 3f ; ;= .
7) Calcular el área de la superficie S de ecuación ( )y f x= con 0 1z≤ ≤ y 1x ≤ si y es la solución particular de 2 2y' y x x+ = + que pasa por (0;0).
8) Calcular la circulación de ( ) ( )22f x; y y x; x= − desde (1;1) a (0;−4) con a lo largo de la curva la solución particular de 2 8xy' y− = que pasa por dichos puntos.
9) Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 180 °C. Después de 3 minutos, su temperatura es de 120 °C. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 22 °C?