Derivada direccional nula La derivada direccional pode ser nula por duas causas: Derivadas parciais 101 a) Como já vimos, na direção perpendicular à do vetor gradiente. b) Se 0=∇z (vetor nulo), então a derivada direcional é nula em qualquer direção e sentido. Exemplo yxyxz 222 +−= em P0 = (1;1) ( ) 022 11 =−= ; ' x yxz ( ) 022 11 =+−= ; ' y xz ( ) ( ) 00011 ==∇ ;;z Derivada direcional segundo uma curva Nesse caso a direção a seguir é a da reta tangente à curva no ponto. Se não se define especificamente uma das duas semirretas tangentes, temos duas derivadas direcionais opostas, correspondentes a dois vetores opostos. Exemplo Calcular a derivada direcional de xyxz 32 −= em P0 = (1;2) ao longo da curva 22 +−= xxy. Calcular a derivada direcional máxima e mínima. Devemos conhecer a direção da reta tangente à curva em x0 = 1. 12 −= xy', por lo tanto a pendente da reta tangente em x0 = 1 é m =1. As direções e sentidos podem ser 41 πα = o 4 5 2 πα = , ou seja a dos vetores ( )11;v = o − ( )11 −−= ;v . a) ( )11;v = 33 432 0 0 P P −=−= −=−= xz yxz ' y ' x ( ) ( ) 2 27 2 2 2 234P0 −=•−−= ;;z' v Alejandro E. García Venturini 102 b) ( )1 1v ;− = − − 33 432 0 0 P P −=−= −=−= xz yxz ' y ' x ( ) ( )0 2 2 7 2P 4 3 2 2 2 ' vz ; ;− = − − • − − = ( ) ( )0P 4 3z ;∇ = − − ( )0P 16 9 5z∇ = + = A derivada direcional máxima é 5 na direção e sentido −−= 5 3 5 4 ;v e a derivada direcional mínima é –5 na mesma direção e sentido oposto, ou seja =− 5 3 5 4 ;v . Generalização da derivada direcional em ℜn Podemos generalizar o visto em ℜ2 para ℜn. Agora u = f (x1; x2;… ; xn), e ( )nv;...;v;vv 21= . Assim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vuv;...;v;vu v v;...; v v; v uu n n' v •∇=•∇=•∇= 0210 21 00 PPPP Exemplos 1) Dada u = x2 + 2x + y2 + z, calcular a derivada direcional na direção e sentido de = 2 20 2 2 ;;v em P0 = (0;0;0). Calcular o gradiente e o valor da derivada direcional máxima e mínima em P0. 0 0 P P 2 2 2 2 0 1 ' x ' y ' z u x u y u = + = = , ( ) ( ) 2 23 2 22 2 20 2 2102P0 =+=•= ;;;;u' v Derivadas parciais 103 ( ) ( )0P 2 0 1u ; ;∇ = ( )0P 5u∇ = A derivada direcional máxima é 5 na direção e sentido de ( )102 ;;v e a derivada direcional mínima é 5− na igual direção e sentido oposto ( )102 −−=− ;;v . 2) Dada u = x.y.z, calcular a derivada direcional na direção e sentido que forma ângulos iguais com os eixos coordenados, se P0 = (1;2;3). Calcular o gradiente e o valor da derivada direcional máxima e mínima em P0. y.xu z.xu z.yu ' z ' y ' x 2 3 6 0 0 0 P P P == == == ( ) ( )236 P0 ;;u =∇ ( ) ( )0P 6 3 2u ; ;∇ = ( )0P 36 9 4 7u∇ = + + = Se os ângulos diretores são iguais, então seus cossenos diretores também o são, por lo tanto as componentes do versor diretor também são iguais. ( )321 v;v;vv = , 12 3 2 2 1 =++= vvvv ( ) 3 313 1 2 1 == vv , por lo tanto = 3 3 3 3 3 ;;v ou −−−=− 3 3 3 3 3 ;;v ( ) ( )3 311 3 32332 3 3 3 3 3236P0 =++=•= ;;;;u' v ou ( ) ( )0 3 3 3 2 3 11 3P 6 3 2 2 3 3 3 3 3 ' vu ; ; ; ;− = • − − − = + + = − Alejandro E. García Venturini 104 A derivada direcional máxima é 7 na direção e sentido ( )236 ;;v e a derivada direcional mínima é –7 na igual direção e sentido oposto, ou seja ( )236 −−−=− ;;v . 3) Dada yzxyeu = , calcular a derivada direcional na direção da reta definida por =− =− 1 12 zy zx em P0 = (1;2;1) e o gradiente. Buscamos a equação da reta = =− =− zz zy zx 1 21 zyx =−=− 1 2 1 Hay dos posibilidades, a) ( )2 1 1v ; ;= 2 1 1 6 6 6 v ; ;= y b) ( )2 1 1v ; ;− = − − − 2 1 1 6 6 6 v ; ;− = − − − a) ee.y.xu ee.xyze.xu ee.yu yz' z yzyz' y yz' x 2 P 2 2 P 2 P 4 3 2 0 0 0 == =+= == ( ) ( )222 0 432 P e;e;eu =∇ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 4 3 4 11P 2 3 4 6 6 6 6 6 6 6 ' v e e e eu e ; e ; e ; ;= • = + + = b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 4 3 4 11P 2 3 4 6 6 6 6 6 6 6 ' v e e e eu e ; e ; e ; ;− = • − − − = − − − = −