1.65 El icosaedro regular encaja perfectamente en un cubo, como se muestra en la figura 1,17. Tiene veinte caras de tri angulo equil atero. En el cubo, 0 x 2, 0 y 2, y 0 z 2...

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1.65. El icosaedro regular encaja perfectamente en un cubo, como se muestra en la figura 1,17. Tiene veinte
caras de triángulo equilátero. En el cubo, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, y 0 ≤ z ≤ 2. Los puntos A y B están
situados en la cara del cubo donde x = 2, y están igualmente espaciados desde el centro de esa cara, por lo
que A = (2, 1− h, 1) y B = (2, 1 + h, 1) para algún número h > 0.
Figura 1.17.
a) Halla las coordenadas de los puntos C y D en términos de h.
D y C están situados en la cara del cubo donde z = 2, como están en el centro de la cara, podemos
concluir que y = 1, entonces, tenemos que:
C = (1− h, 1, 2)
D = (1 + h, 1, 2)
b) Expresa la distancia entre A y B en términos de h.
||A−B|| = ||(2, 1− h, 1)− (2, 1 + h, 1)||
= ||(0,−2h, 0)||
=
√
((0,−2h, 0) · (0,−2h, 0)
=
√
(−2h)(−2h)
=
√
4h2
= 2h
1
c) Expresa la distancia entre A y D en términos de h.
||A−D|| = ||(2, 1− h, 1)− (1 + h, 1, 2)||
= ||(1− h,−h,−1)||
=
√
((1− h,−h,−1) · (1− h,−h,−1)
=
√
(1− h)(1− h) + (−h)(−h) + (−1)(−1)
=
√
(1− h)(1− h) + (−h)(−h) + (−1)(−1)
=
√
2h2 − 2h+ 2
d) Halla h.
Como el icosaedro esta formando por triángulos equiláteros, entonces:
||A−B|| = ||A−D||
2h =
√
2h2 − 2h+ 2
(2h)2 = 2h2 − 2h+ 2
4h2 − 2h2 + 2h− 2 = 0
h2 + h− 1 = 0
Resolvemos el sistema y obtenemos que h = −1+
√
5
2 , (notemos que solo tomamos el valor de h positiva,
ya que el negativo se descarta porque no existen distancia negativa)
∴ h = −1+
√
5
2
2