Ejercicio 2 4

Vista previa del material en texto

Ejercicio 2.4. Resolver la ecuación: √3𝑥2 − 7𝑥 − 30 − √2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 𝑥 − 5. 
 
Solución. 
 
Los universos parciales son: 
 
𝑈1: 3𝑥
2 − 7𝑥 − 30 ≥ 0 ⟹ 3 (𝑥2 −
7
3
𝑥 − 10) ≥ 0 ⟹ 3 [(𝑥2 −
7
3
𝑥 +
49
36
) − 10 −
49
36
] ≥ 0 
 
⟹ 3 [(𝑥 −
7
6
)
2
−
409
36
] ≥ 0 ⟹ (𝑥 −
7
6
)
2
−
409
36
≥ 0 ⟹ (𝑥 −
7
6
−
√409
6
) (𝑥 −
7
6
+
√409
6
) ≥ 0 
 
⟹ 𝑥 ∈ (⟨−∞, 
7 − √409
6
] ∪ [
7 + √409
6
, +∞⟩) = 𝑈1. 
 
𝑈2: 2𝑥
2 − 7𝑥 − 5 ≥ 0 ⟹ 2 (𝑥2 −
7
2
𝑥 −
5
2
) ≥ 0 ⟹ 2 [(𝑥2 −
7
2
𝑥 +
49
16
) −
5
2
−
49
16
] ≥ 0 
 
⟹ 2 [(𝑥 −
7
4
)
2
−
89
16
] ≥ 0 ⟹ (𝑥 −
7
4
)
2
−
89
16
≥ 0 ⟹ (𝑥 −
7
4
−
√89
4
) (𝑥 −
7
4
+
√89
4
) ≥ 0 
 
Valores críticos: 
7 − √89
4
, 
7 + √89
4
 
 
 
 
 
𝑈2 = 𝑥 ∈ ⟨−∞, 
7 − √89
4
] ∪ [
7 + √89
4
, +∞⟩ 
 
El universo de la ecuación es: 
 
𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 = (⟨−∞, 
7 − √409
6
] ∪ [
7 + √409
6
, +∞⟩) ∩ (⟨−∞, 
7 − √89
4
] ∪ [
7 + √89
4
, +∞⟩) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 = (⟨−∞, 
7 − √409
6
] ∪ [
7 + √409
6
, +∞⟩) 
 
√3𝑥2 − 7𝑥 − 30 − √2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 𝑥 − 5 
 
⟺ [(√3𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 𝑥 − 5 + √2𝑥2 − 7𝑥 − 5) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈] 
 
⟹ {[(√3𝑥2 − 7𝑥 − 30)
2
= (𝑥 − 5 + √2𝑥2 − 7𝑥 − 5)
2
] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ {[3𝑥2 − 7𝑥 − 30 = (𝑥 − 5)2 + 2(𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5 + 2𝑥2 − 7𝑥 − 5] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
+ − + 
−∞ 7 − √409
6
 +∞ 
7 + √409
6
 
7 − √89
4
 
7 + √89
4
 
⟹ {[3𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 2(𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5 + 2𝑥2 − 7𝑥 − 5] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ {[3𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 3𝑥2 − 17𝑥 + 20 + 2(𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ {[10𝑥 − 50 = 2(𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ {[10(𝑥 − 5) = 2(𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ {[5(𝑥 − 5) − (𝑥 − 5)√2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 0] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ [(𝑥 − 5) (5 − √2𝑥2 − 7𝑥 − 5) = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈] ⟹ [(𝑥 = 5 ∨ √2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 5) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈] 
 
⟹ [(𝑥 = 5 ∨ 2𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 25) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈] ⟹ [(𝑥 = 5 ∨ 2𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈] 
 
⟹ {[𝑥 = 5 ∨ (2𝑥 + 5)(𝑥 − 6) = 0] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} ⟹ {[𝑥 = 5 ∨ (𝑥 = −
5
2
 ∨ 𝑥 = 6)] ∧ 𝑥 ∈ 𝑈} 
 
⟹ [(𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −
5
2
 ∨ 𝑥 = 6) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ] ⟹ 𝑥 ∈ {−
5
2
, 5, 6} ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ≡ 𝑥 ∈ ({−
5
2
, 5, 6} ∩ 𝑈) 
 
≡ 𝑥 ∈ {5, 6} = CS. 
 
Nótese que la solución 𝑥 = −5/2, no se considera, debido a que se encuentra fuera del universo. 
 
 
 
 
 
 
Verificando la solución en Wolfram Mathematica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−∞ +∞ 7 − √409
6
 
7 + √409
6
 −
5
2
 
5 6